Enačba tgx. Arktangens in arkkotangens

Valovna enačba, diferencialna enačba z delnimi odvodi, ki opisujejo proces širjenja motenj v določenem mediju Tikhonov A.N. in Samarsky A.A., Enačbe matematične fizike, 3. izdaja, M., 1977. - str. 155....

Klasifikacije hiperboličnih parcialnih diferencialnih enačb

Toplotna enačba je parcialna diferencialna enačba paraboličnega tipa, ki opisuje proces širjenja toplote v zveznem mediju (plin...

Matematične metode, ki se uporabljajo v teoriji sistemov čakalnih vrst

Verjetnosti stanj sistema lahko najdemo iz sistema Kolmogorovih diferencialnih enačb, ki so sestavljene po naslednjem pravilu: Na levi strani vsake od njih je odvod verjetnosti i-tega stanja...

Nestacionarna Riccatijeva enačba

1. Splošna Riccatijeva enačba ima obliko: , (1.1) kjer so P, Q, R zvezne funkcije x, ko se x spreminja v intervalu Enačba (1.1) vsebuje kot posebne primere enačbe, ki smo jih že obravnavali: z dobimo a linearna enačba z -enačbo Bernoulli...

Osnove znanstvenih raziskav in načrtovanje poskusov v prometu

Z metodo najmanjših kvadratov (LSM) dobimo funkcionalno odvisnost Y = f(X) (regresijska enačba). Uporabite linearne (Y = a0 + a1X) in kvadratne odvisnosti (Y = a0 + a1X + a2X2) kot aproksimacijske funkcije. Z uporabo metode najmanjših kvadratov so vrednosti a0...

Pol polarnega koordinatnega sistema postavimo v izhodišče pravokotnega koordinatnega sistema, polarna os je združljiva s pozitivno x-osjo (slika 3). riž. 3 Vzemite enačbo premice v normalni obliki: (3.1) - dolžina navpičnice...

Polarni koordinatni sistem na ravnini

Sestavimo enačbo v polarnih koordinatah za krožnico, ki poteka skozi pol, s središčem na polarni osi in polmerom R. Iz pravokotnega trikotnika OAA dobimo OA = OA (slika 4)...

Koncepti teorije vzorčenja. Distribucijska serija. Korelacijska in regresijska analiza

Preučite: a) koncept parne linearne regresije; b) sestavljanje sistema normalnih enačb; c) lastnosti ocen z uporabo metode najmanjših kvadratov; d) tehnika za iskanje linearne regresijske enačbe. Predpostavimo ...

Konstrukcija rešitev diferencialnih enačb v obliki potenčnih vrst

Kot primer uporabe konstruirane teorije razmislite o Besselovi enačbi: (6.1) Kje. Singularna točka z =0 je pravilna. V končnem delu letala ni drugih značilnosti. V enačbi (6.1) ima torej definicijska enačba obliko, to je ...

Reševanje matričnih enačb

Tudi matrično enačbo XA=B lahko rešimo na dva načina: 1. Inverzno matriko izračunamo s katero koli od znanih metod. Potem bo rešitev matrične enačbe videti takole: 2...

Reševanje matričnih enačb

Zgoraj opisane metode niso primerne za reševanje enačb oblike AX=XB, AX+XB=C. Prav tako niso primerni za reševanje enačb, v katerih je vsaj eden od faktorjev za neznano matriko X singularna matrika...

Reševanje matričnih enačb

Enačbe oblike AX = HA rešujemo na enak način kot v prejšnjem primeru, torej element za elementom. Rešitev tukaj je iskanje permutacijske matrike. Oglejmo si podrobneje primer. Primer. Poišči vse matrice ...

Stacionarno delovanje čakalne mreže s konturo v obliki diamanta

Iz stanja lahko preide v eno izmed naslednjih stanj: - zaradi prihoda aplikacije v čakalno vrsto prvega vozlišča z intenzivnostjo; - zaradi sprejema v njem obdelane vloge iz prvega vozlišča v čakalno vrsto tretjega vozlišča z intenzivnostjo...

Trigonometrične funkcije

Arktangens števila je število, katerega sinus je enak a: če in. Vse korene enačbe je mogoče najti s formulo:...

Numerične metode za reševanje matematičnih problemov

>> Arktangens in arkkotangens. Reševanje enačb tgx = a, ctgx = a

§ 19. Arktangens in arkkotangens. Reševanje enačb tgx = a, ctgx = a

V 2. primeru §16 nismo mogli rešiti treh enačb:

Dva smo že rešili - prvega v § 17 in drugega v § 18, za to smo morali uvesti pojme ark kosinus in arcsinus. Razmislite o tretji enačbi x = 2.
Grafa funkcij y=tg x in y=2 imata neskončno veliko skupnih točk, abscise vseh teh točk imajo obliko - abscisa presečišča premice y = 2 z glavno vejo tangentoida (Slika 90). Za število x1 so si matematiki izmislili oznako acrtg 2 (beri arc tangens dveh). Potem lahko vse korene enačbe x=2 opišemo s formulo x=arctg 2 + pk.
Kaj je agctg 2? To je številka tangenta ki je enak 2 in ki pripada intervalu
Oglejmo si zdaj enačbo tg x = -2.
Funkcijski grafi imajo neskončno veliko skupnih točk, imajo abscise vseh teh točk obliko abscisa presečišča premice y = -2 z glavno vejo tangentoida. Za število x 2 so si matematiki izmislili zapis arctg(-2). Potem lahko vse korene enačbe x = -2 opišemo s formulo

Kaj je acrtg(-2)? To je število, katerega tangens je -2 in pripada intervalu. Upoštevajte (glejte sliko 90): x 2 = -x 2. To pomeni, da je arctg(-2) = - arctg 2.
Oblikujmo definicijo arktangenta v splošni obliki.

Definicija 1. arсtg a (arkus tangens a) je število iz intervala, katerega tangens je enak a. Torej,

Zdaj lahko naredimo splošen zaključek o rešitvi enačbe x=a: enačba x = a ima rešitve

Zgoraj smo opazili, da je arctg(-2) = -arctg 2. Na splošno velja formula za katero koli vrednost a

Primer 1. Izračunaj:

Primer 2. Reši enačbe:

A) Ustvarimo formulo rešitve:

Vrednosti arktangensa v tem primeru ne moremo izračunati, zato bomo rešitev enačbe pustili v dobljeni obliki.
odgovor:
Primer 3. Reši neenačbe:
Neenakosti oblike lahko rešimo grafično, pri čemer se držimo naslednjih načrtov
1) konstruirajte tangento y = tan x in premico y = a;
2) za glavno vejo tangeisoida izberemo interval osi x, na katerem je podana neenakost izpolnjena;
3) ob upoštevanju periodičnosti funkcije y = tan x zapišite odgovor v splošni obliki.
Uporabimo ta načrt za rešitev danih neenačb.

: a) Zgradimo grafa funkcij y = tgх in y = 1. Na glavni veji tangentoida se sekata v točki

Izberimo interval osi x, na katerem se nahaja glavna veja tangentoida pod premico y = 1 - to je interval
Ob upoštevanju periodičnosti funkcije y = tgх sklepamo, da je dana neenakost izpolnjena na kateremkoli intervalu oblike:

Zveza vseh takšnih intervalov predstavlja splošno rešitev dane neenačbe.
Odgovor lahko zapišemo tudi drugače:

b) Zgradimo grafa funkcij y = tan x in y = -2. Na glavni veji tangentoida (slika 92) se sekata v točki x = arctg(-2).

Izberimo interval osi x, na katerem je glavna veja tangentoida

Razmislite o enačbi s tan x=a, kjer je a>0. Grafa funkcij y=ctg x in y =a imata neskončno veliko skupnih točk, abscise vseh teh točk imajo obliko: x = x 1 + pk, kjer je x 1 =arccstg a abscisa presečišča. premice y=a z glavno vejo tangentoida (slika 93). To pomeni, da je arcstg a število, katerega kotangens je enak a in ki pripada intervalu (0, n); na tem intervalu je zgrajena glavna veja grafa funkcije y = сtg x.

Na sl. 93 je tudi grafična ponazoritev rešitve enačbe c1tg = -a. Grafa funkcij y = сtg x in y = -а imata neskončno veliko skupnih točk, abscise vseh teh točk imajo obliko x = x 2 + pk, kjer je x 2 = aссстg (- а) abscisa točka presečišča premice y = -а z vejo tangentoida glavne premice. To pomeni, da je arcstg(-a) število, katerega kotangens je enak -a in pripada intervalu (O, n); na tem intervalu je zgrajena glavna veja grafa funkcije Y = сtg x.

Definicija 2. arccstg a (arkus kotangens a) je število iz intervala (0, n), katerega kotangens je enak a.
Torej,

Zdaj lahko potegnemo splošen sklep o rešitvi enačbe ctg x = a: enačba ctg x = a ima rešitve:

Upoštevajte (glejte sliko 93): x 2 = n-x 1. To pomeni, da

Primer 4. Izračunaj:

A) Recimo

Enačbo сtg x=а lahko skoraj vedno pretvorimo v obliko, izjema je enačba сtg x =0. Toda v tem primeru izkoriščanje dejstva, da lahko greš na
enačba cos x=0. Tako enačba oblike x = a ni samostojnega pomena.

A.G. Mordkovič algebra 10. razred

Koledarsko-tematsko načrtovanje pri matematiki, video pri matematiki na spletu, Matematika v šoli download

Vsebina lekcije zapiski lekcije podporni okvir predstavitev lekcije metode pospeševanja interaktivne tehnologije Vadite naloge in vaje samotestiranje delavnice, treningi, primeri, questi domače naloge diskusija vprašanja retorična vprašanja študentov Ilustracije avdio, video posnetki in multimedija fotografije, slike, grafike, tabele, diagrami, humor, anekdote, šale, stripi, prispodobe, izreki, križanke, citati Dodatki izvlečkičlanki triki za radovedneže jaslice učbeniki osnovni in dodatni slovar pojmov drugo Izboljšanje učbenikov in poukapopravljanje napak v učbeniku posodobitev odlomka v učbeniku, elementi inovativnosti pri pouku, nadomeščanje zastarelega znanja z novim Samo za učitelje popolne lekcije koledarski načrt za leto, metodološka priporočila, programi razprav Integrirane lekcije

Lahko naročite podrobno rešitev vašega problema!!!

Enačba, ki vsebuje neznanko pod znakom trigonometrične funkcije (`sin x, cos x, tan x` ali `ctg x`), se imenuje trigonometrična enačba in njene formule bomo obravnavali naprej.

Najenostavnejše enačbe so `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kjer je `x` kot, ki ga je treba najti, `a` je poljubno število. Za vsako od njih zapišimo korenske formule.

1. Enačba `sin x=a`.

Za `|a|>1` nima rešitev.

Ko `|a| \leq 1` ima neskončno število rešitev.

Korenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Enačba `cos x=a`

Za `|a|>1` - kot v primeru sinusa, nima rešitve med realnimi števili.

Ko `|a| \leq 1` ima neskončno število rešitev.

Korenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni primeri za sinus in kosinus v grafih.

3. Enačba `tg x=a`

Ima neskončno število rešitev za poljubne vrednosti `a`.

Korenska formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Enačba `ctg x=a`

Ima tudi neskončno število rešitev za poljubne vrednosti `a`.

Korenska formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korenine trigonometričnih enačb v tabeli

Za sinus:
Za kosinus:
Za tangens in kotangens:
Formule za reševanje enačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije:

Metode reševanja trigonometričnih enačb

Reševanje katere koli trigonometrične enačbe je sestavljeno iz dveh stopenj:

• s pomočjo preoblikovanja v najpreprostejše;
• reši najpreprostejšo enačbo, dobljeno z uporabo korenskih formul in zgoraj zapisanih tabel.

Oglejmo si glavne metode rešitve na primerih.

Algebraična metoda.

Ta metoda vključuje zamenjavo spremenljivke in njeno zamenjavo v enačbo.

Primer. Rešite enačbo: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

naredite zamenjavo: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, nato `2y^2-3y+1=0`,

najdemo korene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz česar sledita dva primera:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primer. Rešite enačbo: `sin x+cos x=1`.

rešitev. Premaknimo vse člene enakosti v levo: `sin x+cos x-1=0`. Z uporabo transformiramo in faktoriziramo levo stran:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogeno enačbo

Najprej morate to trigonometrično enačbo reducirati na eno od dveh oblik:

`a sin x+b cos x=0` (homogena enačba prve stopnje) ali `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena enačba druge stopnje).

Nato oba dela delite s `cos x \ne 0` - za prvi primer, in z `cos^2 x \ne 0` - za drugi primer. Dobimo enačbi za `tg x`: `a tg x+b=0` in `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ki ju je treba rešiti z znanimi metodami.

Primer. Rešite enačbo: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

rešitev. Zapišimo desno stran kot `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

To je homogena trigonometrična enačba druge stopnje, njeno levo in desno stran delimo s `cos^2 x \ne 0`, dobimo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Uvedimo zamenjavo `tg x=t`, kar ima za posledico `t^2 + t - 2=0`. Koreni te enačbe so `t_1=-2` in `t_2=1`. Nato:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Premik na polovični kot

Primer. Rešite enačbo: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

rešitev. Uporabimo formule dvojnega kota, kar ima za posledico: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Z uporabo zgoraj opisane algebraične metode dobimo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Uvedba pomožnega kota

V trigonometrični enačbi `a sin x + b cos x =c`, kjer so a,b,c koeficienti in x spremenljivka, delite obe strani s `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeficienti na levi strani imajo lastnosti sinusa in kosinusa, in sicer je vsota njunih kvadratov enaka 1, njihovi moduli pa niso večji od 1. Označimo jih takole: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, potem:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Oglejmo si podrobneje naslednji primer:

Primer. Rešite enačbo: `3 sin x+4 cos x=2`.

rešitev. Obe strani enakosti delimo s `sqrt (3^2+4^2)`, dobimo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Ker je `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, vzamemo `\varphi=arcsin 4/5` kot pomožni kot. Nato našo enakost zapišemo v obliki:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Z uporabo formule za vsoto kotov za sinus zapišemo svojo enakost v naslednji obliki:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ulomke racionalne trigonometrične enačbe

To so enačbe z ulomki, katerih števci in imenovalci vsebujejo trigonometrične funkcije.

Primer. Reši enačbo. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

rešitev. Pomnožite in delite desno stran enakosti z `(1+cos x)`. Kot rezultat dobimo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Glede na to, da imenovalec ne more biti enak nič, dobimo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izenačimo števec ulomka z nič: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Nato `sin x=0` ali `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Glede na to, da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, sta rešitvi `x=2\pi n, n \in Z` in `x=\pi /2+2\pi n` , `n \v Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija in zlasti trigonometrične enačbe se uporabljajo na skoraj vseh področjih geometrije, fizike in tehnike. Študij se začne v 10. razredu, vedno obstajajo naloge za enotni državni izpit, zato si poskusite zapomniti vse formule trigonometričnih enačb - zagotovo vam bodo koristile!

Vendar vam jih sploh ni treba zapomniti, glavna stvar je razumeti bistvo in ga znati izpeljati. Ni tako težko, kot se zdi. Prepričajte se sami z ogledom videa.

Središče v točki A.
α je kot, izražen v radianih.

Tangenta ( tan α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine nasprotnega kraka |BC| na dolžino sosednjega kraka |AB| .

Kotangens ( ctg α) je trigonometrična funkcija, odvisna od kota α med hipotenuzo in krakom pravokotnega trikotnika, ki je enak razmerju dolžine sosednjega kraka |AB| na dolžino nasprotnega kraka |BC| .

Tangenta

Kje n- cela.

V zahodni literaturi je tangenta označena na naslednji način:
.
;
;
.

Graf funkcije tangente, y = tan x

Kotangens

Kje n- cela.

V zahodni literaturi je kotangens označen na naslednji način:
.
Sprejemljivi so tudi naslednji zapisi:
;
;
.

Graf funkcije kotangens, y = ctg x

Lastnosti tangensa in kotangensa

Periodičnost

Funkcije y = tg x in y = ctg x so periodični s periodo π.

Pariteta

Funkciji tangens in kotangens sta lihi.

Področja opredelitve in vrednosti, naraščanje, padanje

Funkciji tangens in kotangens sta zvezni v svoji definicijski domeni (glej dokaz kontinuitete). Glavne lastnosti tangensa in kotangensa so predstavljene v tabeli ( n- celota).

	y = tg x	y = ctg x
Obseg in kontinuiteta
Razpon vrednosti	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Povečanje		-
Sestopanje	-
Ekstremi	-	-
Ničle, y = 0
Presečišča z ordinatno osjo, x = 0	y = 0	-

Formule

Izrazi z uporabo sinusa in kosinusa

; ;
; ;
;

Formule za tangens in kotangens iz vsote in razlike

Preostale formule je na primer enostavno dobiti

Produkt tangent

Formula za vsoto in razliko tangent

Ta tabela predstavlja vrednosti tangentov in kotangensov za določene vrednosti argumenta.

Izrazi, ki uporabljajo kompleksna števila

Izrazi s hiperboličnimi funkcijami

;
;

Odvod

; .

.
Odvod n-tega reda glede na spremenljivko x funkcije:
.
Izpeljava formul za tangento >>> ; za kotangens >>>

Integrali

Razširitve serije

Če želite dobiti raztezanje tangente po potencah x, morate vzeti več členov raztezanja v potenčni vrsti za funkcije greh x in cos x in te polinome razdelite drug z drugim, . To ustvari naslednje formule.

Ob .

ob .
Kje Bn- Bernoullijeva števila. Določeni so bodisi iz povratne relacije:
;
;
Kje .
Ali po Laplaceovi formuli:

Inverzne funkcije

Inverzni funkciji tangensa in kotangensa sta arktangens in arkotangens.

Arktangens, arctg

, Kje n- cela.

Arkotangens, arcctg

, Kje n- cela.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik matematike za inženirje in študente, “Lan”, 2009.
G. Korn, Priročnik iz matematike za znanstvenike in inženirje, 2012.

Dijaki so prej v programu pridobili predstavo o reševanju trigonometričnih enačb, se seznanili s pojmoma ark kosinus in ark sinus ter primeri rešitev enačb cos t = a in sin t = a. V tej video vadnici si bomo ogledali reševanje enačb tg x = a in ctg x = a.

Za začetek preučevanja te teme razmislite o enačbah tg x = 3 in tg x = - 3. Če rešimo enačbo tg x = 3 z uporabo grafa, bomo videli, da je presečišče grafov funkcij y = tg x in y = 3 ima neskončno število rešitev, kjer je x = x 1 + πk. Vrednost x 1 je x koordinata presečišča grafov funkcij y = tan x in y = 3. Avtor uvede koncept arktangensa: arctan 3 je število, katerega tan je enak 3, in to število pripada intervalu od -π/2 do π/2. Z uporabo koncepta arktangensa lahko rešitev enačbe tan x = 3 zapišemo kot x = arctan 3 + πk.

Po analogiji se reši enačba tg x = - 3. Iz izdelanih grafov funkcij y = tg x in y = - 3 je razvidno, da bodo presečišča grafov in s tem rešitve enačb je x = x 2 + πk. Z uporabo arktangensa lahko rešitev zapišemo kot x = arctan (- 3) + πk. Na naslednji sliki vidimo, da je arctg (- 3) = - arctg 3.

Splošna definicija arktangensa je naslednja: arktangens a je število iz intervala od -π/2 do π/2, katerega tangens je enak a. Potem je rešitev enačbe tan x = a x = arctan a + πk.

Avtor navaja primer 1. Poišči rešitev izraza arctan.Uvedimo zapis: arktangens števila je enak x, potem bo tg x enako danemu številu, kjer x pripada odseku iz -π /2 do π/2. Kot v primerih v prejšnjih temah bomo uporabili tabelo vrednosti. Glede na to tabelo tangens tega števila ustreza vrednosti x = π/3. Zapišimo rešitev enačbe: arktangens danega števila je enak π/3, π/3 prav tako spada v interval od -π/2 do π/2.

Primer 2 - izračunajte arktangens negativnega števila. Z enakostjo arctg (- a) = - arctg a vnesemo vrednost x. Podobno kot v primeru 2 zapišemo vrednost x, ki pripada segmentu od -π/2 do π/2. Iz tabele vrednosti ugotovimo, da je x = π/3, torej -- tg x = - π/3. Odgovor na enačbo je - π/3.

Oglejmo si primer 3. Rešimo enačbo tg x = 1. Zapišimo, da je x = arctan 1 + πk. V tabeli vrednost tg 1 ustreza vrednosti x = π/4, zato je arctg 1 = π/4. Nadomestimo to vrednost v prvotno formulo x in zapišimo odgovor x = π/4 + πk.

Primer 4: izračunajte tan x = - 4,1. V tem primeru x = arctan (- 4,1) + πk. Ker V tem primeru ni mogoče najti vrednosti arctg; odgovor bo izgledal kot x = arctg (- 4,1) + πk.

V primeru 5 je obravnavana rešitev neenačbe tg x > 1. Da bi jo rešili, zgradimo grafe funkcij y = tan x in y = 1. Kot je razvidno iz slike, se ti grafi sekajo v točkah x = π/4 + πk. Ker v tem primeru tg x > 1, na grafu označimo tangentoidno območje, ki se nahaja nad grafom y = 1, kjer x pripada intervalu od π/4 do π/2. Odgovor zapišemo kot π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Nato razmislite o enačbi cot x = a. Slika prikazuje grafe funkcij y = cot x, y = a, y = - a, ki imajo veliko presečišč. Rešitve lahko zapišemo kot x = x 1 + πk, kjer je x 1 = arcctg a in x = x 2 + πk, kjer je x 2 = arcctg (- a). Opozoriti je treba, da je x 2 = π - x 1 . To implicira enakost arcctg (- a) = π - arcctg a. Sledi definicija arc kotangensa: arc kotangens a je število iz intervala od 0 do π, katerega kotangens je enak a. Rešitev enačbe сtg x = a je zapisana kot: x = arcctg a + πk.

Na koncu video lekcije pride še en pomemben sklep - izraz ctg x = a lahko zapišemo kot tg x = 1/a, pod pogojem, da a ni enak nič.

DEKODIRANJE BESEDILA:

Razmislimo o reševanju enačb tg x = 3 in tg x = - 3. Če prvo enačbo rešimo grafično, vidimo, da imata grafa funkcij y = tg x in y = 3 neskončno veliko presečišč, katerih abscise zapišemo v obliki

x = x 1 + πk, kjer je x 1 abscisa točke presečišča ravne črte y = 3 z glavno vejo tangentoida (slika 1), za katero je bila izumljena oznaka

arctan 3 (arktangens treh).

Kako razumeti arctg 3?

To je število, katerega tangens je 3 in pripada intervalu (- ;). Potem lahko vse korene enačbe tg x = 3 zapišemo s formulo x = arctan 3+πk.

Podobno lahko rešitev enačbe tg x = - 3 zapišemo v obliki x = x 2 + πk, kjer je x 2 abscisa točke presečišča premice y = - 3 z glavno vejo tangentoid (slika 1), za katerega je oznaka arctg(- 3) (arkus tangens minus tri). Potem lahko vse korene enačbe zapišemo s formulo: x = arctan(-3)+ πk. Slika prikazuje, da je arctg(- 3)= - arctg 3.

Oblikujmo definicijo arktangensa. Arktangens a je število iz intervala (-;), katerega tangens je enak a.

Pogosto se uporablja enakost: arctg(-a) = -arctg a, ki velja za vsak a.

Če poznamo definicijo arktangensa, lahko naredimo splošen sklep o rešitvi enačbe

tg x= a: enačba tg x = a ima rešitev x = arctan a + πk.

Poglejmo si primere.

PRIMER 1. Izračunajte arctan.

rešitev. Naj bo arctg = x, potem je tgх = in xϵ (- ;). Pokaži tabelo vrednosti Zato je x =, ker je tg = in ϵ (- ;).

Torej, arctan =.

PRIMER 2. Izračunajte arktan (-).

rešitev. Z enakostjo arctg(- a) = - arctg a zapišemo:

arctg(-) = - arctg. Naj bo - arctg = x, potem - tgх = in xϵ (- ;). Zato je x =, ker je tg = in ϵ (- ;). Pokaži tabelo vrednosti

To pomeni - arctg=- tgх= - .

PRIMER 3. Rešite enačbo tgх = 1.

1. Zapišite formulo rešitve: x = arctan 1 + πk.

2. Poiščite vrednost arktangensa

ker je tg = . Pokaži tabelo vrednosti

Torej arctan1= .

3. Najdeno vrednost vnesite v formulo rešitve:

PRIMER 4. Rešite enačbo tgх = - 4,1 (tangens x je enak minus štiri pika ena).

rešitev. Zapišimo formulo rešitve: x = arctan (- 4,1) + πk.

Vrednosti arktangensa ne moremo izračunati, zato bomo rešitev enačbe pustili v dobljeni obliki.

PRIMER 5. Rešite neenačbo tgх 1.

rešitev. Rešili jo bomo grafično.

1. Konstruirajmo tangento

y = tgx in premica y = 1 (slika 2). Sekata se v točkah, kot je x = + πk.

2. Izberimo interval osi x, v katerem se glavna veja tangentoida nahaja nad premico y = 1, saj po pogoju tgх 1. To je interval (;).

3. Uporabljamo periodičnost funkcije.

Lastnost 2. y=tg x je periodična funkcija z glavno periodo π.

Ob upoštevanju periodičnosti funkcije y = tgх zapišemo odgovor:

(;). Odgovor lahko zapišemo kot dvojno neenakost:

Preidimo na enačbo ctg x = a. Predstavimo grafično ponazoritev rešitve enačbe za pozitivni in negativni a (slika 3).

Grafa funkcij y = ctg x in y = a in tudi

y=ctg x in y=-a

imajo neskončno veliko skupnih točk, katerih abscise izgledajo takole:

x = x 1 +, kjer je x 1 abscisa točke presečišča premice y = a z glavno vejo tangentoida in

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, kjer je x 2 abscisa presečišča premice

y = - a z glavno vejo tangentoida in x 2 = arcсtg (- a).

Upoštevajte, da je x 2 = π - x 1. Torej, zapišimo pomembno enakost:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

Oblikujmo definicijo: ark kotangens a je število iz intervala (0;π), katerega kotangens je enak a.

Rešitev enačbe ctg x = a zapišemo v obliki: x = arcctg a + .

Upoštevajte, da lahko enačbo ctg x = a pretvorimo v obliko

tg x = , razen če je a = 0.