Методом замены плоскостей проекций. Open Library - открытая библиотека учебной информации Определить натуральную величину способом замены плоскостей
Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций методом перемены плоскостей проекций, достигается путем замены плоскостей П1 и П2 новыми плоскостями П4 (рис. 8.4). Новые плоскости выбираются перпендикулярно старым. Некоторые преобразования проекций требуют двойной замены плоскостей проекций (рис. 8.5). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.
Задача 1: Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 8.4). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости. Выберем новую плоскость проекций П4, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П1. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П1П2 в систему П1П4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А4В4 будет натуральной величиной отрезка АВ.
Рисунок 8.4. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций
Задача 2: Определить расстояние от точки C до прямой общего положения, заданной отрезком АВ (рис. 8.5).
Рисунок 8.5. Определение натуральной величины отрезка прямой методом замены плоскостей проекций
ь объекту проецирования новые, частные по отношению к ним, положения.
Поверхности вращения
Поверхность вращения общего вида образуется вращательным перемещением образующей линии вокруг неподвижной оси.
Каждая точка образующей линии при вращении вокруг неподвижной оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называются параллелями.
Наибольшую из параллелей (окружностей) поверхности вращения называют экватором поверхности, а наименьшую - горлом (шейкой) поверхности.
Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность, - меридианами. Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проекции, называется плоскостью главного меридиана.
Линия пересечения плоскости главного меридиана с поверхностью вращения называется главным меридианом.
Пересечение поверхностей вращения плоскостью
При пересечении поверхности вращения плоскостью получается плоская фигура сечения. Построение проекций линии сечения необходимо начинать с определения опорных точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (точки, определяющие границы видимости проекций кривой), и точки, удаленные на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют произвольные (промежуточные) точки линии сечения.
Для определения точек, принадлежащих фигуре сечения, можно использовать различные методы. Один из них - метод вспомогательных секущих плоскостей. Суть его заключается в том, что заданные плоскость и поверхность вращения пересекают вспомогательной плоскостью. Находят линии пересечения этой плоскости с заданными плоскостью и поверхностью вращения. Затем отмечают точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения. Построенные точки фигуры сечения соединяют плавной линией.
Развертки поверхностей вращения
Построение разверток поверхностей вращения имеет большое значение, особенно при конструировании из листового материала моделей различных сооружений, форм для металлических отливок, сосудов, трубопроводов, резервуаров и т.п.
Приближенные развертки
Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися поверхностями. Фигуру, полученную при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называют разверткой.
Для развертывающихся поверхностей можно построить приближенную развертку.
При построении приближенной развертки поверхность аппроксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников, имеющих грани в форме прямоугольников или треугольников. Поэтому при графическом выполнении разверток поверхности всегда приходится производить разгибание или спрямление кривых линий, принадлежащих поверхности, что неизбежно приводит к потере точности.
Конус вращения
На виде сверху конус изображается кругом, являющимся одновременно горизонтальной проекцией основания конуса и его боковой поверхности (рис. 26). Центр круга – горизонтальная проекция вершины конуса. Главный вид и вид слева – равнобедренные треугольники.
Пусть в конусе имеется призматическое отверстие и точка А (А 2) лежит на линии пересечения конуса с отверстием.
Конус можно рассматривать как линейчатую поверхность, на которой точки могут быть построены с помощью прямолинейных образующих. Проекция А 1 точки А построена с помощью проекций l2 и l1 образующей l.
Все проекции сферы – окружности. Диаметр их равен диаметру сферы. На каждом изображении проводят центровые линии.
На рис. 27 представлен чертёж сферы, усечённой двумя плоскостями, и показано построение точки А (А 1, А 2, А 3) на поверхности сферы.
Рис. 26. Конус вращения
Рис. 27. Сфера
Если рассматривать конус как поверхность вращения, то для решения задачи на построение точки интересно объединить его со сферой и тором.
В разновидностях аксонометрических проекций отсутствуют перспективные искажения, вследствие чего изображение получается условным и простым. Форму предмета можно строить точно по размерам (если нужно) и изображать ее «не как вижу, а как надо» с пониманием объективной сущности предмета. В этом заключается особенность технического рисунка и простота его выполнения, позволяющие сравнительно быстро приобрести необходимые навыки.
Развертка поверхности цилиндра состоит из прямоугольника и двух кругов. Одну сторону прямоугольника берут равной высоте цилиндра, другую - длине окружности основания.
К прямоугольнику, пристраивают два круга, диаметр которых равен диаметру оснований цилиндра.
Развертка поверхности конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из сектора - развертки боковой поверхности и круга - основания конуса.
Построение выполняется следующим образом:
1. Проводят осевую линию и из точки S, взятой на ней, описывают радиусом, равным длине S<4 образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса. Точку S соединяют с конечными точками дуги.
2. К полученной фигуре пристраивают круг. Диаметр этого круга равен диаметру основания конуса. Центр круга должен лежать на осевой линии так, чтобы круг касался дуги развертки боковой поверхности.
Длину окружности при построении p;i шерток цилиндра и мщусм можно определить по формуле С nD или графически. Для графического построения делят окружность на несколько частей, а затем откладывают их на прямой (для цилиндра) или на дуге окружности (для конуса).
Сущность метода замены плоскостей проекций состоит по сути в том, что одна из плоскостей проекций системы П! /П 2 (или последовательно обе) заменяется новой плоскостью, перпендикулярной к плоскости оставшейся. Положение заданных геометрических элементов в пространстве при этом не изменяется. Образуется новая система плоскостей проекций П 1 /П 4 (П 2 /П 5).
На рисунке 75 показано проецирование точки на плоскости П 4 и П 5 . Плоскость П 4 перпендикулярна плоскости П 1 .
[АА 1 ]=[А 2 А х ]=[А 4 А х1 ],ᴛ.ᴇ.
расстояние от новой фронтальной проекции до новой оси равно расстоянию от старой фронтальной проекции точки до старой оси.
Рисунок 75 Рисунок 76
При построении эпюра в новой системе, новая проекция точки А 4 и старая проекция точки А 1 (или А 5 и А 2) расположены на одном перпендикуляре к новой оси.
Пример 1. Определить длину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости П 1 и П 2.
Решение задачи показано на рисунке 76.
Введена плоскость П 4 перпендикулярно П 1 и параллельно отрезку АВ, т. к. Х 1 параллелен А 1 В 1 . А 1 А 4 и В 1 В 4 находятся на одной линии связи перпендикулярной новой оси Х 1 . Отрезки А 2 А х =А 4 А х1 ; В 2 В х =В 4 В х1 . Отрезок[А 4 В 4 ] =[АВ] –длина отрезка.
Углы наклона показаны на чертеже. a - угол наклона к П 1; b- угол наклона к П 2.
Для решения некоторых задач требуется вводить поочередно замены двух плоскостей проекций.
Пример 2. Определить истинную величину треугольника АВС.
Последовательность решения задачи на рисунке 77.
Рисунок 77
1) Введена плоскость П 4 ┴ П 1 ; П 2 /П 1 П 4 /П 1
Плоскость П 4 перпендикулярна плоскости треугольника АВС, так, как она перпендикулярна горизонтали, проведенной в треугольнике. На плоскости П 4 проекция треугольника А 4 В 4 С 4 - прямая линия, угол - угол наклона плоскости АВС к горизонтальной плоскости проекций П 1 .
[А 2 А х ]=[А 4 А х1 ]; [В 2 В х ]=[В 4 В х1 ]; [С 2 С х ]=[С 4 С х1 ].
2) Введена плоскость П 5 ┴ П 4 . П 4 /П 1 П 5 /П 4
Плоскость треугольника АВС стала параллельна плоскости П 5 т.к. Х 2 параллельна А 4 В 4 С 4 .
[А 1 А х1 ]=[А 5 А х2 ]; [В 1 В х1 ]=[В 5 В х2 ] ; [С 1 С х1 ]=[С 5 С х2 ]
Треугольник А 5 В 5 С 5 -натуральная величина треугольник а АВС.
Пример 3. Определить точку пересечения прямой МЕ с плоскостью общего положения, заданной треугольником АВС.
Последовательность решения задачи на рисунке 78.
Рисунок 78
Так как прямая ВС является горизонталью, то вспомогательная плоскость П 4 проводится перпендикулярно П 1 , а новая ось Х 1 будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали В 1 С 1 . Плоскость АВС станет проецирующей относительно плоскости П 4 и проецируется на нее в прямую линию А 4 В 4 С 4 . По этой причине проекция точки К 4 искомой точки пересечения прямой МЕ с плоскостью АВС будет находиться на проекции А 4 В 4 С 4 или ее продолжении. Обратный переход от системы П 1 /П 4 к исходной системе П 1 /П 2 позволяет определить проекции К 1 и К 2 точки пересечения прямой МЕ с плоскостью АВС. Относительная видимость прямой и плоскости определяется методом конкурирующих точек.
Сущность метода замены плоскостей проекций заключается в том, что одна из плоскостей проекций системы П!/П2 (или последовательно обе) заменяется новой плоскостью, перпендикулярной к плоскости оставшейся. Положение заданных геометрических элементов в пространстве при... [читать подробенее]
МЕТОДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА При решении многих задач начертательной геометрии бывает целесообразно преобразовать проекции одной или нескольких фигур таким образом, чтобы они заняли частное положение относительно плоскостей: параллельное либо... [читать подробенее]
[читать подробенее]
Этот метод заключается в том, что заданные в пространстве геометрические фигуры не изменяют своего положения, а в системе плоскостей проекций V и H последовательно заменяют одну, две и более плоскостей проекций. При этом вновь введёная плоскость проекций должна быть... [читать подробенее]
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА Лекция 4Решение ряда задач в начертательной геометрии значительно упрощается, когда геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Задачи на определение взаимного... [читать подробенее]
Суть метода заключается в замене одной плоскости проекции на другую. При этом сам объект четко зафиксирован в пространстве. При такой замене величина координаты любой точки на вводимой плоскости будет такой же, как координаты той же точки на заменяемой плоскости. ...
Изменение взаимного положения изучаемого объекта и плоскостей проекций достигается путем замены одной из плоскостей П 1 или П 2 новой плоскостями П 4 (рис. 148). Новая плоскость всегда выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций.
Для решения некоторых задач может потребоваться двойная замены плоскостей проекций (рис. 149). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.
Задача 1 : Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 148). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.
Выберем новую плоскость проекций П 4 , параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П 1 . Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П 1 П 2 в систему П 1 П 4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А 4 В 4 будет натуральной величиной отрезка АВ .
Задача 2 : Определить расстояние от точки А до прямой общего положения, заданной отрезком ВС (рис._149).
Понятие многогранника.
Многогранники – замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Вершины и стороны многогранников являются вершинами и ребрами многогранников. Они образуют пространственную сетку. Если вершины и ребра многогранника находятся по одну сторону плоскости любой из его граней, то многогранник называют выпуклым, все его грани – выпуклые.
Из всего многообразия многогранников наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды, правильные многогранники и их разновидности.
Многогранник, две грани которого n-угольники в параллельных плоскостях, а остальные n-граней - параллелограммы, называется n-угольной призмой. Многогранники являются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы.
Многогранник, у которого одна из граней – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называются пирамидой. Грань–многоугольник называют основанием призмы, а треугольники – боковыми гранями пирамиды. Общая вершина треугольников называется особой вершиной пирамиды (обычно, просто вершиной).
Если пирамиду отсечь плоскостью параллельной основанию, то получим усеченную пирамиду.
Многогранник называется метрически правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками. К ним относятся куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.
Под изображением многогранников на чертеже будем понимать изображение ограничивающей его многогранной поверхности, т.е. изображение совокупности составляющих ее многогранников. Графически простую многогранную поверхность удобно задавать проекциями ее сетки.
Построение проекций:
Построение проекций многогранников
Построение проекции многогранника на некоторой плоскости сводится к построению проекций точек. Например, проецируя пирамиду SABC на пл.я 2 (рис. 256, слева), мы строим проекции вершин S, А, В и С и, как следствие, проекции основания ABC, граней SAB, SBC, SAC, ребер SA, SB и др.
Также, проецируя трехгранный угол ") с вершиной S (рис. 256, справа), мы, помимо вершины S, берем на ребрах угла по одной точке (К, М, N) и проецируем их
на пл. я 2 ; в результате получаем проекции ребер и граней (плоских углов) трехгранного угла и В целом самый угол.
На рис. 257 изображены многогранное тело ACBB 1 D... (т. е. часть пространства, ограниченного со всех сторон плоскими фигурами - многоугольниками) и его проекция на пл. я 1 - фигура A"C"F }
