Урок "числовая окружность на координатной плоскости". Окружность на координатной плоскости Координатная окружность с числами

Слайд 2

Что будем изучать: Определение. Важные координаты числовой окружности. Как искать координату числовой окружности? Таблица основных координат числовой окружности. Примеры задач.

Слайд 3

Определение. Расположим числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совместился с началом координат, а её радиус принимаем за единичный отрезок. Начальная точка числовой окружности A совмещена с точкой (1;0). Каждая точка числовой окружности имеет в координатной плоскости свои координаты х и у, причем: x > 0, у > 0 в первой четверти; х 0 во второй четверти; х 0, у

Слайд 4

Нам важно научиться находить координаты точек числовой окружности представленных на рисунке ниже:

Слайд 5

Найдем координату точки π/4: Точка М(π/4)- середина первой четверти. Опустим из точки М перпендикуляр МР на прямую ОА и рассмотрим треугольник OMP.Так как дуга АМ составляет половину дуги АВ, то ∡MOP=45° Значит, треугольник OMP - равнобедренный прямоугольный треугольник и OP=MP, т.е. у точки M абсцисса и ордината равны: x = y Так как координаты точки M(х;y) удовлетворяют уравнению числовой окружности, то для их нахождения нужно решить систему уравнений: Решив данную систему получаем: Получили, что координаты точки M, соответствующей числу π/4 будут Аналогичным образом рассчитываются координаты точек представленных на предыдущем слайде.

Слайд 6

Слайд 7

Координаты точек числовой окружности.

Слайд 8

Пример Найти координату точки числовой окружности: Р(45π/4) Решение: Т.к. числам t и t+2π k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то: 45π/4 = (10 + 5/4) π = 10π +5π/4 = 5π/4 + 2π 5 Значит, числу 45π/4 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу 5π/4. Посмотрев значение точки 5π/4 в таблице получаем:

Слайд 9

Пример Найти координату точки числовой окружности: Р(-37π/3) Решение: Т.к. числам t и t+2π k (k-целое число) соответствует одна и тоже точка числовой окружности то: -37π/3 = -(12 + 1/3) π = -12π –π/3 = -π/3 + 2π (-6) Значит, числу -37π/3 соответствует та же точка числовой окружности, что и числу –π/3, а числу –π/3 соответствует та же точка что и 5π/3. Посмотрев значение точки 5π/3 в таблице получаем:

Слайд 10

Найти на числовой окружности точки с ординатой у = 1/2 и записать, каким числам t они соответствуют. Пример Прямая у = 1/2 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Точка М соответствует числу π/6 (из данных таблицы)значит, и любому числу вида π/6+2π k. Точка Р соответствует числу 5π/6, а значит, и любому числу вида 5π/6+2 π k Получили, как часто говорят в таких случаях, две серии значений:π/6+2 π k и 5π/6+2 π k Ответ: t= π/6+2 π k иt= 5π/6+2 π k Числовая окружность на координатной плоскости.

Слайд 11

Пример Найти на числовой окружности точки с абсциссой x≥ и записать, каким числам t они соответствуют. Прямая x= 1/2 пересекает числовую окружность в точках М и Р. Неравенствуx ≥ соответствуют точки дуги РМ. Точка М соответствует числу 3π/4 (из данных таблицы)значит, и любому числу вида -3π/4+2π k. Точка Р соответствует числу -3π/4, а значит, и любому числу вида – -3π/4+2 π k Тогда получим -3π/4+2 π k≤t≤3π/4+2 π k Ответ: -3π/4+2 π k≤t≤3π/4+2 π k Числовая окружность на координатной плоскости.

Слайд 12

Числовая окружность на координатной плоскости.

Задачи для самостоятельного решения. 1) Найти координату точки числовой окружности: Р(61π/6)? 2) Найти координату точки числовой окружности: Р(-52π/3) 3) Найти на числовой окружности точки с ординатой у = -1/2 и записать, каким числам t они соответствуют. 4) Найти на числовой окружности точки с ординатой у ≥-1/2 и записать, каким числам t они соответствуют. 5)Найти на числовой окружности точки с абсциссой x≥ и записать, каким числам t они соответствуют.

Посмотреть все слайды

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Числовая окружность в координатной плоскости

Повторим: Единичная окружность – числовая окружность, радиус которой равен 1. R=1 C=2 π + - у х

Если точка М числовой окружности соответст-вует числу t, то она соответствует и числу вида t+2 π k , где k – любое целое число (k ϵ Z) . M(t) = M(t+2 π k), где k ϵ Z

Основные макеты Первый макет 0 π у х Второй макет у х

х у 1 А(1, 0) B (0 , 1) C (- 1, 0) D (0 , -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

Найдем координаты точки М, соответствующей точке. 1) 2) х у М P 45° O A

Координаты основных точек первого макета 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D у х

М P х у O A Найдем координаты точки М, соответствующей точке. 1) 2) 30°

М P Найдем координаты точки М, соответствующей точке. 1) 2) 30° х у O A В

Используя свойство симметрии, найдем координаты точек, кратных у х

Координаты основных точек второго макета x y x y у х

Пример Найти координаты точки числовой окружности. Решение: P у х

Пример Найти на числовой окружности точки с ординатой Решение: у х x y x y

Упражнения: Найти координаты точек числовой окружности: а) , б) . Найти на числовой окружности точки с абсциссой.

Координаты основных точек 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Координаты основных точек первого макета x y x y Координаты основных точек второго макета

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Дидактический материал по алгебре и началам анализа в 10 классе (профильный уровень) "Числовая окружность на координатной плоскости"

Вариант 1.1.Найти на числовой окружности точку:А) -2∏/3Б) 72.Како й четверти числовой окружности принадлежит точка 16.3.Найти ко...

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

На этом уроке мы повторим важное свойство числовой окружности и поместим единичную числовую окружность в координатную плоскость по определенным правилам. Вспомним уравнение единичной числовой окружности и с его помощью решим несколько задач на нахождение координат точки на единичной числовой окружности. В конце урока составим таблицу координат для точек кратных π/6 и π/4.

Тема урока, повторение

Ранее мы изучили числовую окружность и выяснили её свойства (рис. 1).

Каждому действительному числу соответствует единственная точка на окружности.

Каждой точке на числовой окружности соответствует не только число но и все числа вида

Числовая окружность в координатной плоскости

Поместим окружность в координатную плоскость . По прежнему, каждому числу соответствует точка на окружности. Теперь этой точке на окружности соответствуют две координаты, как и любой точке координатной плоскости.

Наша задача - по данному числу найти не только точку, но и её координаты, и наоборот, по координатам найти одно или несколько соответствующих чисел.

Пример 1.Дана точка - середина дуги Точке соответствуют числа вида

Найти координаты точки (рис. 3).

Координаты можно найти двумя разными способами, рассмотрим их по очереди.

1. Точка лежит на окружности, R=1, значит, она удовлетворяет уравнению окружности

По условию. Мы помним, что величина центрального угла численно равна длине дуги в радианах, значит, угол Это значит также, что прямая делит первую четверть ровно пополам, значит, это прямая

Точка лежит на прямой поэтому удовлетворяет уравнению этой прямой.

Составим систему из двух уравнений.

Решив систему, получим искомые координаты.

2. Рассмотрим прямоугольный (рис. 4).

Итак, мы задали число нашли точку и её координаты. Определим также координаты симметричных ей точек (рис. 5).

Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны

Следующая задача - таким же образом определить координаты точек, кратных

Окружность радиуса R=1 помещена в координатную плоскость, Найти точку на окружности и её координаты (рис. 6).

Рассмотрим - прямоугольный.

Т. е. угол

Найдем координаты симметричных точек (рис. 7).

Мы задали число нашли точку на окружности, эта точка единственная, и нашли её координаты.

Решение задач

Пример 1. Дана точка Найти её прямоугольные координаты.

Точка середина третьей четверти (рис. 8).

Вывод, заключение

Мы поместили числовую окружность в координатную плоскость, научились находить по числу точку на окружности и её координаты. Эта техника лежит в основе определения синуса и косинуса, которые будут рассмотрены далее.

Список литературы

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под ред.

А. Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под ред.

А. Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2007. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). - М.: Просвещение, 1996. Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1997. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М. И.Сканави). - М.:Высшая школа, 1992. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебраический тренажер. - К.: А. С.К., 1997. Саакян С. М., Гольдман А. М., Денисов Д. В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений). - М.: Просвещение, 2003. Карп А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 2006.

Mathematics. ru . Problems. ru . РЕШУ ЕГЭ.

Домашнее задание

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/под ред. А. Г. Мордковича. - М.: Мнемозина, 2007.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом R поместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b) , а координаты любой точки окружности (х; у) , то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у , определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Примеры решения задач про уравнение окружности

Задача. Составить уравнение заданной окружности

Составьте уравнение окружности с центром в точке O (2;-3) и радиусом 4.

Решение .
Обратимся к формуле уравнения окружности:
R 2 = (x-a ) 2 + (y-b ) 2

Подставим значения в формулу.
Радиус окружности R = 4
Координаты центра окружности (в соответствии с условием)
a = 2
b = -3

Получаем:
(x - 2 ) 2 + (y - (-3 )) 2 = 4 2
или
(x - 2 ) 2 + (y + 3 ) 2 = 16 .

Задача. Принадлежит ли точка уравнению окружности

Проверить, принадлежит ли точка A(2;3) уравнению окружности (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .

Решение .
Если точка принадлежит окружности, то ее координаты удовлетворяют уравнению окружности.
Чтобы проверить, принадлежит ли окружности точка с заданными координатами, подставим координаты точки в уравнение заданной окружности.

В уравнение (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
подставим, согласно условию, координаты точки А(2;3), то есть
x = 2
y = 3

Проверим истинность полученного равенства
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 равенство неверно

Таким образом, заданная точка не принадлежит заданному уравнению окружности.