المعادلة tgx. ظل قوسي و ظل قوسي

المعادلة الموجية، معادلة تفاضلية بمشتقات جزئية، تصف عملية انتشار الاضطرابات في وسط معين. تيخونوف إيه إن وسامارسكي إيه إيه، معادلات الفيزياء الرياضية، الطبعة الثالثة، م، 1977. - ص. 155....

تصنيفات المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية

المعادلة الحرارية هي معادلة تفاضلية جزئية من النوع القطعي المكافئ تصف عملية انتشار الحرارة في وسط مستمر (الغاز...

الطرق الرياضية المستخدمة في نظرية أنظمة الانتظار

يمكن العثور على احتمالات حالات النظام من نظام معادلات كولموغوروف التفاضلية، والتي تم تجميعها وفقًا للقاعدة التالية: على الجانب الأيسر من كل منها مشتق احتمال الحالة i...

معادلة ريكاتي غير الثابتة

1. معادلة ريكاتي العامة لها الشكل: ، (1.1) حيث P، Q، R هي دوال مستمرة لـ x مع تغير x في الفاصل الزمني. تحتوي المعادلة (1.1) كحالات خاصة على المعادلات التي سبق أن أخذناها في الاعتبار: حيث نحصل على a معادلة خطية، مع - معادلة برنولي...

أساسيات البحث العلمي وتخطيط التجارب في النقل

دعونا نحصل على الاعتماد الوظيفي Y = f(X) (معادلة الانحدار) باستخدام طريقة المربعات الصغرى (LSM). استخدم التبعيات الخطية (Y = a0 + a1X) والتبعيات التربيعية (Y = a0 + a1X + a2X2) كدوال تقريبية. باستخدام طريقة المربعات الصغرى، قيم a0...

لنضع قطب نظام الإحداثيات القطبية عند أصل نظام الإحداثيات المستطيل، حيث يتوافق المحور القطبي مع محور x الموجب (الشكل 3). أرز. 3 خذ معادلة الخط المستقيم بالصورة العادية : (3.1) - طول العمود ...

نظام الإحداثيات القطبية على المستوى

لنقم بإنشاء معادلة بالإحداثيات القطبية لدائرة تمر بالقطب، ومركزها على المحور القطبي ونصف قطرها R. ومن المثلث القائم OAA نحصل على OA = OA (الشكل 4)...

مفاهيم نظرية أخذ العينات. سلسلة التوزيع. تحليل الارتباط والانحدار

دراسة: أ) مفهوم الانحدار الخطي المقترن. ب) وضع نظام المعادلات العادية. ج) خصائص التقديرات باستخدام طريقة المربعات الصغرى؛ د) تقنية لإيجاد معادلة الانحدار الخطي. لنفرض...

بناء حلول المعادلات التفاضلية على شكل متسلسلة قوى

وكمثال لتطبيق النظرية المبنية، فكر في معادلة بيسل: (6.1) أين. النقطة المفردة z =0 منتظمة. ولا توجد ميزات أخرى في الجزء الأخير من الطائرة. لذلك فإن المعادلة التعريفية في المعادلة (6.1) لها الشكل، أي...

حل المعادلات المصفوفية

كما يمكن حل معادلة المصفوفة XA=B بطريقتين: 1. يتم حساب المصفوفة العكسية بأي من الطرق المعروفة. عندها سيكون حل معادلة المصفوفة كما يلي: 2...

حل المعادلات المصفوفية

الطرق الموضحة أعلاه غير مناسبة لحل المعادلات بالصيغة AX=XB، AX+XB=C. كما أنها ليست مناسبة لحل المعادلات التي يكون فيها أحد عوامل المصفوفة المجهولة X على الأقل مصفوفة فردية...

حل المعادلات المصفوفية

يتم حل المعادلات ذات الشكل AX = HA بنفس الطريقة كما في الحالة السابقة، أي عنصرًا بعنصر. الحل هنا يكمن في إيجاد مصفوفة التقليب. دعونا نلقي نظرة فاحصة على مثال. مثال. البحث عن جميع المصفوفات...

التشغيل الثابت لشبكة الانتظار ذات الشكل الماسي

من الحالة يمكن أن ينتقل إلى إحدى الحالات التالية: - بسبب وصول التطبيق إلى قائمة انتظار العقدة الأولى بكثافة؛ - بسبب استلام الطلب المعالج فيه من العقدة الأولى إلى قائمة انتظار العقدة الثالثة بكثافة...

الدوال المثلثية

قوس الظل للرقم هو رقم جيبه يساوي a: if و. يمكن إيجاد جميع جذور المعادلة باستخدام الصيغة:...

الطرق العددية لحل المسائل الرياضية

>> ظل قوسي وظل قوسي. حل المعادلات tgx = a، ctgx = a

§ 19. ظل قوسي وظل قوسي. حل المعادلات tgx = a، ctgx = a

في المثال 2 من §16 لم نتمكن من حل ثلاث معادلات:

لقد قمنا بالفعل بحل اثنين منهم - الأول في § 17 والثاني في § 18، ولهذا كان علينا تقديم المفاهيم قوس جيب التمامو أركسين. خذ بعين الاعتبار المعادلة الثالثة س = 2.
تحتوي الرسوم البيانية للوظائف y=tg x وy=2 على عدد لا نهائي من النقاط المشتركة، وتكون الإحداثيات لكل هذه النقاط على شكل - الإحداثي الإحداثي لنقطة تقاطع الخط المستقيم y = 2 مع الفرع الرئيسي للخط المماس (الشكل 90). بالنسبة للرقم x1، توصل علماء الرياضيات إلى التسمية acrtg 2 (اقرأ "قوس الظل لاثنين"). ثم يمكن وصف جميع جذور المعادلة x=2 بالصيغة x=arctg 2 + pk.
ما هو اجكتج 2؟ هذا هو الرقم الظلوالذي يساوي 2 والذي ينتمي إلى الفاصل الزمني
دعونا الآن نفكر في المعادلة tg x = -2.
الرسوم البيانية الوظيفية لها عدد لا نهائي من النقاط المشتركة، فإن حروف كل هذه النقاط لها الشكل الإحداثي السيني لنقطة تقاطع الخط المستقيم y = -2 مع الفرع الرئيسي للمماس. بالنسبة للرقم x 2، توصل علماء الرياضيات إلى الرمز arctg(-2). ثم يمكن وصف جميع جذور المعادلة x = -2 بالصيغة

ما هو أكرتج (-2)؟ هذا رقم ظله -2 وينتمي إلى المجال. يرجى ملاحظة (انظر الشكل 90): x 2 = -x 2. هذا يعني أن arctg(-2) = - arctg 2.
دعونا نقوم بصياغة تعريف قوس الظل بشكل عام.

التعريف 1. arсtg a (قوس الظل a) هو رقم من الفاصل الزمني الذي يساوي ظله a. لذا،

نحن الآن في وضع يسمح لنا باستخلاص نتيجة عامة حول الحل المعادلات x=a: المعادلة x = a لها حلول

لقد لاحظنا أعلاه أن arctg(-2) = -arctg 2. بشكل عام، تكون الصيغة صالحة لأي قيمة

مثال 1.احسب:

مثال 2.حل المعادلات:

أ) لننشئ صيغة الحل:

لا يمكننا حساب قيمة ظل القوس في هذه الحالة، لذلك سنترك حل المعادلة بالشكل الذي حصلنا عليه.
إجابة:
مثال 3.حل عدم المساواة:
يمكن حل عدم المساواة في النموذج بيانيا، مع الالتزام بالخطط التالية
1) إنشاء ظل y = tan x وخط مستقيم y = a؛
2) حدد للفرع الرئيسي للتانجيسويد الفاصل الزمني للمحور x الذي يتم استيفاء عدم المساواة فيه؛
3) مع الأخذ بعين الاعتبار دورية الدالة y = tan x، اكتب الإجابة بصيغة عامة.
دعونا نطبق هذه الخطة لحل المتباينات المعطاة.

: أ) لنقم بإنشاء رسوم بيانية للدوال y = tgx و y = 1. على الفرع الرئيسي للمماس، تتقاطع عند النقطة

دعونا نحدد الفاصل الزمني للمحور x الذي يقع عليه الفرع الرئيسي للمماس أسفل الخط المستقيم y = 1 - هذا هو الفاصل الزمني
مع الأخذ في الاعتبار دورية الدالة y = tgx، نستنتج أن المتباينة المعطاة تتحقق في أي فترة من النموذج:

يمثل اتحاد كل هذه الفترات الحل العام للمتباينة المعطاة.
ويمكن كتابة الجواب بطريقة أخرى:

ب) لنقم ببناء رسوم بيانية للدالتين y = tan x و y = -2. على الفرع الرئيسي للمماس (الشكل 92) يتقاطعان عند النقطة x = arctg(-2).

دعونا نحدد الفاصل الزمني للمحور x الذي يقع عليه الفرع الرئيسي للظلال

خذ بعين الاعتبار المعادلة التي تحتوي على tan x=a، حيث a>0. تحتوي الرسوم البيانية للوظائف y=ctg x وy =a على عدد لا نهائي من النقاط المشتركة، وتكون حدود كل هذه النقاط بالشكل: x = x 1 + pk، حيث x 1 =arccstg a هي نقطة التقاطع للخط المستقيم y=a مع الفرع الرئيسي للمماس (الشكل 93). هذا يعني أن arcstg a هو رقم ظل تمامه يساوي a وينتمي إلى الفاصل الزمني (0، n)؛ في هذه الفترة يتم إنشاء الفرع الرئيسي للرسم البياني للدالة y = сtg x.

في التين. 93 يقدم أيضًا رسمًا توضيحيًا لحل المعادلة c1tg = -a. الرسوم البيانية للوظائف y = сtg x و y = -а لها عدد لا نهائي من النقاط المشتركة، الإحداثيات لكل هذه النقاط لها الشكل x = x 2 + pk، حيث x 2 = агсстg (- а) هو الإحداثي الإحداثي للدالة y = сtg x و y = -а نقطة تقاطع الخط y = -а مع فرع الخط الرئيسي المماس. هذا يعني أن arcstg(-a) هو رقم يساوي ظل تمامه -a وينتمي إلى الفاصل الزمني (O, n); في هذه الفترة يتم إنشاء الفرع الرئيسي للرسم البياني للدالة Y = сtg x.

التعريف 2. arcstg a (قوس ظل التمام a) هو رقم من الفاصل الزمني (0، n) الذي يساوي ظل التمام a.
لذا،

الآن نحن قادرون على استخلاص نتيجة عامة حول حل المعادلة ctg x = a: المعادلة ctg x = a لها حلول:

يرجى ملاحظة (انظر الشكل 93): x 2 = n-x 1. هذا يعني انه

مثال 4.احسب:

أ) دعنا نقول

يمكن دائمًا تحويل المعادلة сtg x=а إلى الصورة، والاستثناء هو المعادلة сtg x =0. ولكن في هذه الحالة، الاستفادة من حقيقة أنه يمكنك الذهاب إلى
المعادلة جتا س=0. وبالتالي، فإن المعادلة على الشكل x = a ليست ذات أهمية مستقلة.

اي جي. جبر موردكوفيتش الصف العاشر

التخطيط المواضيعي للتقويم في الرياضيات، فيديوفي الرياضيات على الانترنت، تحميل الرياضيات في المدرسة

محتوى الدرس ملاحظات الدرسدعم إطار عرض الدرس وأساليب تسريع التقنيات التفاعلية يمارس المهام والتمارين ورش عمل الاختبار الذاتي، والتدريبات، والحالات، والمهام، والواجبات المنزلية، وأسئلة المناقشة، والأسئلة البلاغية من الطلاب الرسوم التوضيحية الصوت ومقاطع الفيديو والوسائط المتعددةصور فوتوغرافية، صور، رسومات، جداول، رسوم بيانية، فكاهة، نوادر، نكت، كاريكاتير، أمثال، أقوال، كلمات متقاطعة، اقتباسات الإضافات الملخصاتالمقالات والحيل لأسرّة الأطفال الفضوليين والكتب المدرسية الأساسية والإضافية للمصطلحات الأخرى تحسين الكتب المدرسية والدروستصحيح الأخطاء في الكتاب المدرسيتحديث جزء من الكتاب المدرسي، وعناصر الابتكار في الدرس، واستبدال المعرفة القديمة بأخرى جديدة فقط للمعلمين دروس مثاليةالخطة التقويمية للسنة، التوصيات المنهجية، برامج المناقشة دروس متكاملة

يمكنك طلب حل مفصل لمشكلتك!!!

المساواة التي تحتوي على مجهول تحت علامة الدالة المثلثية (`sin x، cos x، tan x` أو `ctg x`) تسمى معادلة مثلثية، وسننظر في صيغها بشكل أكبر.

أبسط المعادلات هي `sin x=a، cos x=a، tg x=a، ctg x=a`، حيث `x` هي الزاوية التي سيتم العثور عليها، و`a` هو أي رقم. دعونا نكتب الصيغ الجذرية لكل منها.

1. المعادلة `sin x=a`.

بالنسبة إلى `|a|>1`، لا يوجد لها حلول.

عندما `|أ| \leq 1` يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. المعادلة `cos x=a`

بالنسبة لـ `|a|>1` - كما في حالة جيب الجيب، ليس لها حلول بين الأعداد الحقيقية.

عندما `|أ| \leq 1` يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.

صيغة الجذر: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

حالات خاصة للجيب وجيب التمام في الرسوم البيانية.

3. المعادلة `tg x=a`

لديه عدد لا نهائي من الحلول لأي قيم `a`.

صيغة الجذر: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. المعادلة `ctg x=a`

لديه أيضًا عدد لا نهائي من الحلول لأي قيم `a`.

صيغة الجذر: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

صيغ جذور المعادلات المثلثية في الجدول

لجيب:
لجيب التمام:
بالنسبة للظل وظل التمام:
صيغ حل المعادلات التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية:

طرق حل المعادلات المثلثية

حل أي معادلة مثلثية يتكون من مرحلتين:

• وذلك بمساعدة تحويله إلى الأبسط؛
• حل أبسط معادلة تم الحصول عليها باستخدام الصيغ الجذرية والجداول المكتوبة أعلاه.

دعونا نلقي نظرة على طرق الحل الرئيسية باستخدام الأمثلة.

الطريقة الجبرية.

تتضمن هذه الطريقة استبدال متغير واستبداله بالمساواة.

مثال. حل المعادلة: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

قم بالاستبدال: `cos(x+\frac \pi 6)=y`، ​​ثم `2y^2-3y+1=0`،

نجد الجذور: `y_1=1, y_2=1/2`، ويتبع منها حالتان:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

الإجابة: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`، `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

التخصيم.

مثال. حل المعادلة: `sin x+cos x=1`.

حل. لننقل جميع حدود المساواة إلى اليسار: `sin x+cos x-1=0`. باستخدام ، نقوم بتحويل وتحليل الجانب الأيسر:

`الخطيئة x - 2sin^2 x/2=0`،

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`،

`2سين x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`،

1. `الخطيئة x/2 =0`، `x/2 =\pi n`، `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

الإجابة: `x_1=2\pi n`، `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

التخفيض إلى معادلة متجانسة

أولاً، عليك اختزال هذه المعادلة المثلثية إلى أحد الشكلين:

`a sin x+b cos x=0` (معادلة متجانسة من الدرجة الأولى) أو `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (معادلة متجانسة من الدرجة الثانية).

ثم اقسم كلا الجزأين على `cos x \ne 0` - للحالة الأولى، وعلى `cos^2 x \ne 0` - للحالة الثانية. حصلنا على معادلات `tg x`: `a tg x+b=0` و`a tg^2 x + b tg x +c =0`، والتي تحتاج إلى حل باستخدام الطرق المعروفة.

مثال. حل المعادلة: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

حل. لنكتب الجانب الأيمن بالشكل `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 الخطيئة^2 x+الخطيئة x cos x — cos^2 x=` `الخطيئة^2 x+cos^2 x`,

`2 الخطيئة^2 x+الخطيئة x cos x — cos^2 x -` ` الخطيئة^2 x — cos^2 x=0`

`الخطيئة^2 x+الخطيئة x cos x — 2 cos^2 x=0`.

هذه معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الثانية، نقسم طرفيها الأيمن والأيسر على `cos^2 x\ne 0`، فنحصل على:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. دعنا نقدم الاستبدال `tg x=t`، مما يؤدي إلى `t^2 + t - 2=0`. جذور هذه المعادلة هي `t_1=-2` و`t_2=1`. ثم:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

إجابة. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

الانتقال إلى نصف الزاوية

مثال. حل المعادلة: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

حل. دعونا نطبق صيغ الزاوية المزدوجة، مما يؤدي إلى: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 كوس ^2 س/2`

`4 تيراغرام^2 س/2 — 11 تيراغرام س/2 +6=0`

وبتطبيق الطريقة الجبرية الموصوفة أعلاه نحصل على:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

إجابة. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

مقدمة من الزاوية المساعدة

في المعادلة المثلثية `a sin x + b cos x =c`، حيث a,b,c معاملات وx متغير، قسّم كلا الطرفين على `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +ب^2))`.

المعاملات الموجودة على الجانب الأيسر لها خصائص الجيب وجيب التمام، أي أن مجموع مربعاتها يساوي 1 ووحداتها ليست أكبر من 1. ولنرمز إليها كما يلي: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`، ثم:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على المثال التالي:

مثال. حل المعادلة: `3 sin x+4 cos x=2`.

حل. نقسم طرفي المساواة على `sqrt (3^2+4^2)`، نحصل على:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 الخطيئة x+4/5 cos x=2/5`.

دعنا نشير إلى `3/5 = cos \varphi`، `4/5=sin \varphi`. بما أن `sin \varphi>0`، `cos \varphi>0`، فإننا نأخذ `\varphi=arcsin 4/5` كزاوية مساعدة. ثم نكتب المساواة لدينا في الشكل:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

بتطبيق صيغة مجموع زوايا الجيب، نكتب مساواتنا بالشكل التالي:

`الخطيئة (x+\varphi)=2/5`،

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

إجابة. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

المعادلات المثلثية العقلانية الكسرية

هذه هي المساواة مع الكسور التي تحتوي بسطها ومقاماتها على دوال مثلثية.

مثال. حل المعادلة. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

حل. اضرب واقسم الجانب الأيمن من المساواة على `(1+cos x)`. ونتيجة لذلك نحصل على:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

بالنظر إلى أن المقام لا يمكن أن يساوي الصفر، نحصل على `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

دعونا نساوي بسط الكسر بالصفر: `sin x-sin^2 x=0`، `sin x(1-sin x)=0`. ثم `sin x=0` أو `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

بالنظر إلى أن ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`، الحلول هي `x=2\pi n, n \in Z` و `x=\pi /2+2\pi n` ، `ن \في Z`.

إجابة. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

يُستخدم علم المثلثات، والمعادلات المثلثية على وجه الخصوص، في جميع مجالات الهندسة والفيزياء والهندسة تقريبًا. تبدأ الدراسة في الصف العاشر، وهناك دائمًا مهام لامتحان الدولة الموحدة، لذا حاول أن تتذكر جميع صيغ المعادلات المثلثية - فهي بالتأكيد ستكون مفيدة لك!

ومع ذلك، لا تحتاج حتى إلى حفظها، والشيء الرئيسي هو فهم الجوهر والقدرة على استخلاصه. انها ليست صعبة كما يبدو. شاهد بنفسك من خلال مشاهدة الفيديو.

تتمركز عند النقطة أ.
α هي الزاوية المعبر عنها بالراديان.

الظل ( تان ألفا) هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المقابل |BC| إلى طول الساق المجاورة |AB| .

ظل التمام ( سي تي جي ألفا) هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المجاور |AB| لطول الساق المقابلة |BC| .

الظل

أين ن- جميع.

في الأدب الغربي، يُشار إلى الظل على النحو التالي:
.
;
;
.

الرسم البياني لدالة الظل، y = tan x

ظل التمام

أين ن- جميع.

في الأدب الغربي، يُشار إلى ظل التمام على النحو التالي:
.
يتم قبول الرموز التالية أيضًا:
;
;
.

رسم بياني لدالة ظل التمام، y = ctg x

خصائص الظل وظل التمام

الدورية

وظائف ص = تيراغرام سو ص = سي تي جي اكستكون دورية مع الفترة π.

التكافؤ

وظائف الظل وظل التمام غريبة.

مجالات التعريف والقيم، متزايدة، متناقصة

دوال الظل وظل التمام متصلة في مجال تعريفها (انظر إثبات الاستمرارية). يتم عرض الخصائص الرئيسية للظل وظل التمام في الجدول ( ن- جميع).

	ص = تيراغرام س	ص = سي تي جي اكس
النطاق والاستمرارية
مدى من القيم	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
في ازدياد		-
تنازلي	-
النهايات	-	-
أصفار، ص = 0
نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي x = 0	ص = 0	-

الصيغ

التعبيرات باستخدام الجيب وجيب التمام

; ;
; ;
;

صيغ الظل وظل التمام من المجموع والفرق

من السهل الحصول على الصيغ المتبقية، على سبيل المثال

منتج الظلال

صيغة لمجموع وفرق الظلال

يعرض هذا الجدول قيم الظلال وظل التمام لقيم معينة للوسيطة.

التعبيرات باستخدام الأعداد المركبة

التعبيرات من خلال الوظائف الزائدية

;
;

المشتقات

; .

.
مشتق الترتيب n بالنسبة للمتغير x للدالة:
.
اشتقاق الصيغ للظل > > > ; لظل التمام > > >

التكاملات

توسعات السلسلة

للحصول على مفكوك المماس في قوى x، عليك أن تأخذ عدة حدود للتمدد في متسلسلة القوى للوظائف الخطيئة سو كوس سوتقسيم هذه كثيرات الحدود على بعضها البعض، . وهذا ينتج الصيغ التالية.

في .

في .
أين مليار- أرقام برنولي. يتم تحديدها إما من علاقة التكرار:
;
;
أين .
أو حسب صيغة لابلاس:

وظائف عكسية

الوظائف العكسية للظل وظل التمام هي ظل قوسي وظل ظل قوسي، على التوالي.

قوس قطبي، قوس قطبي

، أين ن- جميع.

ظل التمام القوسي، القوسي

، أين ن- جميع.

مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.
ج. كورن، دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين، 2012.

في وقت سابق من البرنامج، اكتسب الطلاب فكرة عن حل المعادلات المثلثية، وأصبحوا على دراية بمفاهيم قوس جيب التمام وقوس الجيب، وأمثلة لحلول المعادلات cos t = a وsin t = a. سنتناول في هذا الفيديو التعليمي حل المعادلتين tg x = a وctg x = a.

لبدء دراسة هذا الموضوع، فكر في المعادلتين tg x = 3 وtg x = - 3. إذا حللنا المعادلة tg x = 3 باستخدام الرسم البياني، فسنرى أن تقاطع الرسوم البيانية للدوال y = tg x و y = 3 لديه عدد لا نهائي من الحلول، حيث x = x 1 + πk. القيمة x 1 هي إحداثي x لنقطة تقاطع الرسوم البيانية للوظائف y = tan x و y = 3. يقدم المؤلف مفهوم الظل القطبي: arctan 3 هو رقم ظا يساوي 3، وهذا الرقم ينتمي إلى الفترة من -π/2 إلى π/2. باستخدام مفهوم ظل القطب الشمالي، يمكن كتابة حل المعادلة tan x = 3 بالشكل x = arctan 3 + πk.

بالقياس، تم حل المعادلة tg x = - 3. من الرسوم البيانية المبنية للوظائف y = tg x و y = - 3، من الواضح أن نقاط تقاطع الرسوم البيانية، وبالتالي حلول المعادلات، سوف يكون س = س 2 + πك. باستخدام ظل القطب الشمالي، يمكن كتابة الحل بالشكل x = arctan (- 3) + πk. في الشكل التالي نرى أن arctg (- 3) = - arctg 3.

التعريف العام لظل قوسي هو كما يلي: ظل قوسي a هو رقم من الفترة من -π/2 إلى π/2 الذي ظله يساوي a. ثم حل المعادلة tan x = a هو x = arctan a + πk.

يعطي المؤلف مثال 1. أوجد حلاً للتعبير arctan، دعنا نقدم الترميز: قوس الظل لعدد ما يساوي x، ثم tg x سيكون مساويًا للرقم المحدد، حيث x ينتمي إلى القطعة من -π /2 إلى π/2. كما في الأمثلة في المواضيع السابقة، سوف نستخدم جدول القيم. ووفقا لهذا الجدول، فإن ظل هذا الرقم يتوافق مع القيمة x = π/3. دعونا نكتب حل المعادلة: قوس الظل لعدد معين يساوي π/3، π/3 ينتمي أيضًا إلى الفترة من -π/2 إلى π/2.

المثال 2 - حساب ظل الزاوية لعدد سالب. باستخدام المساواة arctg (- a) = - arctg a، ندخل قيمة x. كما هو الحال في المثال 2، نكتب قيمة x، التي تنتمي إلى القطعة من -π/2 إلى π/2. من جدول القيم نجد أن x = π/3، وبالتالي -- tg x = - π/3. إجابة المعادلة هي - π/3.

لنفكر في المثال 3. قم بحل المعادلة tg x = 1. اكتب أن x = arctan 1 + πk. في الجدول، القيمة tg 1 تتوافق مع القيمة x = π/4، وبالتالي، arctg 1 = π/4. لنعوض بهذه القيمة في الصيغة الأصلية x ونكتب الإجابة x = π/4 + πk.

مثال 4: احسب tan x = - 4.1. في هذه الحالة x = القطب الشمالي (- 4.1) + πk. لأن ليس من الممكن إيجاد قيمة arctg في هذه الحالة؛ ستكون الإجابة كالتالي: x = arctg (- 4.1) + πk.

في المثال 5، تم النظر في حل المتراجحة tg x > 1. لحلها، قمنا بإنشاء رسوم بيانية للدوال y = tan x و y = 1. وكما هو واضح في الشكل، تتقاطع هذه الرسوم البيانية عند النقاط x = π/4 + πك. لأن في هذه الحالة tg x > 1، على الرسم البياني نسلط الضوء على المنطقة المماسية، التي تقع أعلى الرسم البياني y = 1، حيث x ينتمي إلى الفاصل الزمني من π/4 إلى π/2. نكتب الإجابة بالشكل π/4 + πk< x < π/2 + πk.

بعد ذلك، فكر في المعادلة cot x = a. يوضح الشكل الرسوم البيانية للوظائف y = cot x، y = a، y = - a، والتي لها العديد من نقاط التقاطع. يمكن كتابة الحلول بالشكل x = x 1 + πk، حيث x 1 = arcctg a و x = x 2 + πk، حيث x 2 = arcctg (- a). يلاحظ أن x 2 = π - x 1 . وهذا يعني المساواة arcctg (- a) = π - arcctg a. ما يلي هو تعريف ظل التمام القوسي: ظل التمام القوسي a هو رقم من الفترة من 0 إلى π الذي يساوي ظل التمام a. يتم كتابة حل المعادلة сtg x = a على النحو التالي: x = arcctg a + πk.

في نهاية درس الفيديو، تم التوصل إلى استنتاج مهم آخر - يمكن كتابة التعبير ctg x = a بالشكل tg x = 1/a، بشرط ألا يساوي a صفرًا.

فك تشفير النص:

لنفكر في حل المعادلتين tg x = 3 وtg x = - 3. وبحل المعادلة الأولى بيانيًا، نرى أن الرسوم البيانية للدوال y = tg x وy = 3 تحتوي على عدد لا نهائي من نقاط التقاطع، التي نكتب حروفها في التشكيل

x = x 1 + πk، حيث x 1 هي نقطة تقاطع الخط المستقيم y = 3 مع الفرع الرئيسي للظلال (الشكل 1)، والذي تم اختراع التعيين له

القطب الشمالي 3 (قوس الظل من ثلاثة).

كيف نفهم آركتج 3؟

هذا رقم ظله 3 وينتمي هذا الرقم إلى المجال (- ;). ثم يمكن كتابة جميع جذور المعادلة tg x = 3 بالصيغة x = arctan 3+πk.

وبالمثل، يمكن كتابة حل المعادلة tg x = - 3 في الصورة x = x 2 + πk، حيث x 2 هي نقطة تقاطع الخط المستقيم y = - 3 مع الفرع الرئيسي للخط المستقيم. مماسي (الشكل 1)، والذي تم تعيينه له arctg(- 3) (قوس الظل ناقص ثلاثة). ومن ثم يمكن كتابة جميع جذور المعادلة بالصيغة: x = arctan(-3)+ πk. يوضح الشكل أن arctg(- 3)= - arctg 3.

دعونا صياغة تعريف قوس الظل. ظل القوس a هو رقم من الفاصل الزمني (-؛) الذي ظله يساوي a.

غالبًا ما يتم استخدام المساواة: arctg(-a) = -arctg a، وهي صالحة لأي a.

بمعرفة تعريف ظل الزاوية القطبي، يمكننا التوصل إلى استنتاج عام حول حل المعادلة

tg x= a: المعادلة tg x = a لها حل x = arctan a + πk.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

مثال 1. احسب القطب الشمالي.

حل. دع arctg = x، ثم tgx = وxϵ (- ;). إظهار جدول القيم لذلك، x =، حيث أن tg = و ϵ (- ;).

لذلك، أركان =.

مثال 2. احسب القطب الشمالي (-).

حل. باستخدام المساواة arctg(- a) = - arctg a نكتب:

arctg(-) = - arctg . دع - arctg = x، ثم - tgx = وxϵ (- ;). لذلك، x =، حيث أن tg = و ϵ (- ;). عرض جدول القيم

هذا يعني - arctg=- tgx= - .

مثال 3. حل المعادلة tgx = 1.

1. اكتب صيغة الحل: x = arctan 1 + πk.

2. أوجد قيمة ظل قوسي

منذ تيراغرام = . عرض جدول القيم

إذن arctan1= .

3. ضع القيمة الموجودة في صيغة الحل:

مثال 4. حل المعادلة tgx = - 4.1 (ظل x يساوي سالب أربعة نقطة واحد).

حل. لنكتب صيغة الحل: x = arctan (- 4.1) + πk.

لا يمكننا حساب قيمة ظل القوس، لذا سنترك حل المعادلة بصورته التي حصلنا عليها.

مثال 5. حل المتباينة tgx 1.

حل. وسوف نقوم بحلها بيانيا.

1. دعونا نبني الظل

y = tgx والخط المستقيم y = 1 (الشكل 2). أنها تتقاطع في نقاط مثل x = + πk.

2. دعونا نحدد الفاصل الزمني للمحور x الذي يقع فيه الفرع الرئيسي للظلال فوق الخط المستقيم y = 1، لأنه حسب الشرط tgx 1. هذا هو الفاصل الزمني (؛).

3. نستخدم دورية الوظيفة.

الخاصية 2. y=tg x هي دالة دورية بدورتها الرئيسية π.

مع الأخذ في الاعتبار دورية الدالة y = tgx نكتب الجواب:

(؛). يمكن كتابة الإجابة على شكل متباينة مزدوجة:

دعنا ننتقل إلى المعادلة ctg x = a. دعونا نقدم رسمًا توضيحيًا لحل المعادلة الموجبة والسالبة (الشكل 3).

الرسوم البيانية للوظائف y = ctg x و y = a وأيضًا

ص=ctg س و ص=-أ

تحتوي على عدد لا نهائي من النقاط المشتركة، والتي تبدو حروفها كما يلي:

x = x 1 +، حيث x 1 هي نقطة تقاطع الخط المستقيم y = a مع الفرع الرئيسي للمماس و

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +، حيث x 2 هو الإحداثي الإحداثي لنقطة تقاطع الخط

y = - a مع الفرع الرئيسي للمماس و x 2 = arcсtg (- a).

لاحظ أن x 2 = π - x 1. لذا، دعونا نكتب مساواة مهمة:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

دعونا نقوم بصياغة التعريف: قوس ظل التمام a هو رقم من الفاصل الزمني (0;π) الذي يساوي ظل التمام a.

حل المعادلة ctg x = a مكتوب بالصيغة: x = arcctg a + .

يرجى ملاحظة أنه يمكن تحويل المعادلة ctg x = a إلى النموذج

tg x =، إلا عندما يكون a = 0.