Η μέθοδος αντικατάστασης των επιπέδων προβολής. Ανοιχτή βιβλιοθήκη - ανοιχτή βιβλιοθήκη εκπαιδευτικών πληροφοριών Προσδιορίστε το φυσικό μέγεθος αντικαθιστώντας τα επίπεδα
Η αλλαγή της σχετικής θέσης του προβαλλόμενου σχήματος και των επιπέδων προβολής με την αλλαγή των επιπέδων προβολής επιτυγχάνεται με την αντικατάσταση των επιπέδων P1 και P2 με νέα επίπεδα P4 (Εικ. 8.4). Επιλέγονται νέα επίπεδα κάθετα στα παλιά. Ορισμένοι μετασχηματισμοί προβολής απαιτούν διπλή αντικατάσταση των επιπέδων προβολής (Εικ. 8.5). Η διαδοχική μετάβαση από ένα σύστημα επιπέδων προβολής σε άλλο πρέπει να πραγματοποιείται ακολουθώντας τον ακόλουθο κανόνα: η απόσταση από τη νέα προβολή ενός σημείου στον νέο άξονα πρέπει να είναι ίση με την απόσταση από την αντικατασταθείσα προβολή του σημείου στον αντικατασταθέντα άξονα .
Εργασία 1: Προσδιορίστε το φυσικό μέγεθος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ σε γενικές θέσεις (Εικ. 8.4). Από την ιδιότητα της παράλληλης προβολής είναι γνωστό ότι ένα τμήμα προβάλλεται σε ένα επίπεδο σε πλήρες μέγεθος εάν είναι παράλληλο σε αυτό το επίπεδο. Ας επιλέξουμε ένα νέο επίπεδο προβολής P4, παράλληλο στο τμήμα ΑΒ και κάθετο στο επίπεδο P1. Με την εισαγωγή ενός νέου επιπέδου, περνάμε από το σύστημα των επιπέδων P1P2 στο σύστημα P1P4 και στο νέο σύστημα επιπέδων η προβολή του τμήματος A4B4 θα είναι το φυσικό μέγεθος του τμήματος AB.
Εικόνα 8.4. Προσδιορισμός της φυσικής τιμής ενός ευθύγραμμου τμήματος με αντικατάσταση των επιπέδων προβολής
Εργασία 2: Προσδιορίστε την απόσταση από το σημείο Γ έως τη γενική ευθεία που δίνεται από το τμήμα ΑΒ (Εικ. 8.5).
Εικόνα 8.5. Προσδιορισμός της φυσικής τιμής ενός ευθύγραμμου τμήματος με αντικατάσταση των επιπέδων προβολής
στο αντικείμενο προβολής νέα, ιδιωτικά σε σχέση με αυτά, θέσεις.
Επιφάνειες επανάστασης
Μια γενική επιφάνεια περιστροφής σχηματίζεται με περιστροφική κίνηση της γεννήτριας γύρω από έναν σταθερό άξονα.
Κάθε σημείο της γραμμής παραγωγής, όταν περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα, περιγράφει έναν κύκλο με το κέντρο του στον άξονα περιστροφής. Αυτοί οι κύκλοι ονομάζονται παράλληλοι.
Το μεγαλύτερο από τα παράλληλα (κύκλους) της επιφάνειας περιστροφής ονομάζεται ισημερινός της επιφάνειας και το μικρότερο είναι ο λαιμός (λαιμός) της επιφάνειας.
Τα επίπεδα που διέρχονται από τον άξονα της επιφάνειας περιστροφής ονομάζονται μεσημβρινά και οι γραμμές κατά τις οποίες τέμνουν την επιφάνεια ονομάζονται μεσημβρινοί. Το μεσημβρινό επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο προβολής ονομάζεται κύριο επίπεδο μεσημβρινών.
Η γραμμή τομής του επιπέδου του κύριου μεσημβρινού με την επιφάνεια περιστροφής ονομάζεται κύριος μεσημβρινός.
Τομή των επιφανειών περιστροφής με ένα επίπεδο
Όταν μια επιφάνεια περιστροφής τέμνεται από ένα επίπεδο, προκύπτει μια επίπεδη τομή. Η κατασκευή των προβολών γραμμής τομής πρέπει να ξεκινά με τον προσδιορισμό των σημείων αναφοράς. Αυτά περιλαμβάνουν σημεία που βρίσκονται στα περιγράμματα της επιφάνειας (σημεία που ορίζουν τα όρια ορατότητας των προεξοχών της καμπύλης) και σημεία που βρίσκονται σε ακραίες (μέγιστες και ελάχιστες) αποστάσεις από τα επίπεδα προβολής. Μετά από αυτό, καθορίζονται αυθαίρετα (ενδιάμεσα) σημεία της γραμμής τομής.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορες μεθόδους για να προσδιορίσετε τα σημεία που ανήκουν σε μια εικόνα ενότητας. Ένα από αυτά είναι η μέθοδος των βοηθητικών επιπέδων κοπής. Η ουσία του έγκειται στο γεγονός ότι ένα δεδομένο επίπεδο και επιφάνεια περιστροφής τέμνονται από ένα βοηθητικό επίπεδο. Να βρείτε τις ευθείες τομής αυτού του επιπέδου με το δεδομένο επίπεδο και επιφάνεια περιστροφής. Στη συνέχεια, σημειώστε τα σημεία στα οποία τέμνονται οι γραμμές τομής που προκύπτουν. Τα κατασκευασμένα σημεία του σχήματος τομής συνδέονται με μια ομαλή γραμμή.
Εξελίξεις επιφανειών επανάστασης
Η κατασκευή εξελίξεων επιφανειών περιστροφής είναι μεγάλης σημασίας, ιδιαίτερα κατά την κατασκευή μοντέλων διαφόρων κατασκευών, καλουπιών για μεταλλικά χυτά, αγγείων, αγωγών, δεξαμενών κ.λπ. από φύλλο υλικού.
Σκουπίσματα κατά προσέγγιση
Οι επιφάνειες που μπορούν να ευθυγραμμιστούν με ένα επίπεδο χωρίς σπασίματα ή πτυχώσεις ονομάζονται επιφάνειες που μπορούν να αναπτυχθούν. Το σχήμα που προκύπτει από το συνδυασμό της αναπτυσσόμενης επιφάνειας με ένα επίπεδο ονομάζεται ανάπτυξη.
Για επιφάνειες που μπορούν να αναπτυχθούν, μπορεί να κατασκευαστεί μια κατά προσέγγιση ανάπτυξη.
Κατά την κατασκευή μιας κατά προσέγγιση ανάπτυξης, η επιφάνεια προσεγγίζεται από τις επιφάνειες εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων πολυεδρών με όψεις σε σχήμα ορθογωνίων ή τριγώνων. Επομένως, κατά την γραφική εκτέλεση επιφανειακών εξελίξεων, είναι πάντα απαραίτητο να ισιώσετε ή να ισιώσετε τις καμπύλες γραμμές που ανήκουν στην επιφάνεια, κάτι που αναπόφευκτα οδηγεί σε απώλεια ακρίβειας.
Κώνος περιστροφής
Στην κάτοψη, ο κώνος απεικονίζεται ως κύκλος, ο οποίος είναι ταυτόχρονα μια οριζόντια προβολή της βάσης του κώνου και της πλευρικής του επιφάνειας (Εικ. 26). Το κέντρο του κύκλου είναι η οριζόντια προβολή της κορυφής του κώνου. Η κύρια όψη και η αριστερή όψη είναι ισοσκελές τρίγωνα.
Έστω μια πρισματική οπή στον κώνο και το σημείο Α (Α 2) βρίσκεται στη γραμμή τομής του κώνου με την οπή.
Ένας κώνος μπορεί να θεωρηθεί ως μια κατευθυνόμενη επιφάνεια στην οποία μπορούν να κατασκευαστούν σημεία χρησιμοποιώντας ευθείες γραμμές. Η προβολή A 1 του σημείου Α κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας προβολές l2 και l1 της γεννήτριας l.
Όλες οι προβολές μιας σφαίρας είναι κύκλοι. Η διάμετρός τους είναι ίση με τη διάμετρο της σφαίρας. Σε κάθε εικόνα σχεδιάζονται κεντρικές γραμμές.
Στο Σχ. Το σχήμα 27 δείχνει ένα σχέδιο μιας σφαίρας που περικόπτεται από δύο επίπεδα και δείχνει την κατασκευή του σημείου Α (A 1, A 2, A 3) στην επιφάνεια της σφαίρας.
Ρύζι. 26. Κώνος περιστροφής
Ρύζι. 27. Σφαίρα
Εάν θεωρήσουμε έναν κώνο ως επιφάνεια περιστροφής, τότε για να λύσουμε το πρόβλημα της κατασκευής ενός σημείου είναι ενδιαφέρον να το συνδυάσουμε με μια σφαίρα και έναν τόρο.
Στις ποικιλίες των αξονομετρικών προβολών δεν υπάρχουν παραμορφώσεις προοπτικής, με αποτέλεσμα η εικόνα να αποδεικνύεται συμβατική και απλή. Το σχήμα ενός αντικειμένου μπορεί να κατασκευαστεί ακριβώς σύμφωνα με το μέγεθος (εάν είναι απαραίτητο) και να απεικονιστεί "όχι όπως βλέπω, αλλά όπως θα έπρεπε" με την κατανόηση της αντικειμενικής ουσίας του αντικειμένου. Αυτή είναι η ιδιαιτερότητα του τεχνικού σχεδίου και η ευκολία εφαρμογής του, που επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει σχετικά γρήγορα τις απαραίτητες δεξιότητες.
Η ανάπτυξη της επιφάνειας ενός κυλίνδρου αποτελείται από ένα ορθογώνιο και δύο κύκλους. Η μία πλευρά του ορθογωνίου λαμβάνεται ίση με το ύψος του κυλίνδρου, η άλλη - με την περιφέρεια της βάσης.
Στο ορθογώνιο προσαρτώνται δύο κύκλοι, η διάμετρος των οποίων είναι ίση με τη διάμετρο των βάσεων του κυλίνδρου.
Η ανάπτυξη της επιφάνειας ενός κώνου είναι μια επίπεδη φιγούρα που αποτελείται από έναν τομέα - την ανάπτυξη της πλευρικής επιφάνειας και έναν κύκλο - τη βάση του κώνου.
Η κατασκευή πραγματοποιείται ως εξής:
1. Σχεδιάστε μια κεντρική γραμμή και από ένα σημείο S που λαμβάνεται πάνω της, περιγράψτε την με ακτίνα ίση με το μήκος του S<4 образующей конуса, дугу окружности. На ней откладывают длину окружности основания конуса. Точку S соединяют с конечными точками дуги.
2. Ένας κύκλος προσαρτάται στο σχήμα που προκύπτει. Η διάμετρος αυτού του κύκλου είναι ίση με τη διάμετρο της βάσης του κώνου. Το κέντρο του κύκλου πρέπει να βρίσκεται στην κεντρική γραμμή έτσι ώστε ο κύκλος να αγγίζει το τόξο σάρωσης της πλευρικής επιφάνειας.
Η περιφέρεια της περιφέρειας κατά την κατασκευή των άκρων p;i του κυλίνδρου και του mshcm μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο C nD ή γραφικά. Για γραφική κατασκευή, χωρίστε τον κύκλο σε πολλά μέρη και, στη συνέχεια, απλώστε τα σε μια ευθεία γραμμή (για έναν κύλινδρο) ή σε ένα τόξο κύκλου (για έναν κώνο).
Η ουσία της μεθόδου αντικατάστασης των επιπέδων προβολής είναι ουσιαστικά ότι ένα από τα επίπεδα προβολής του συστήματος P! /P 2 (ή και τα δύο διαδοχικά) αντικαθίσταται από ένα νέο επίπεδο κάθετο στο υπόλοιπο επίπεδο. Η θέση των καθορισμένων γεωμετρικών στοιχείων στο χώρο δεν αλλάζει. Σχηματίζεται ένα νέο σύστημα επιπέδων προβολής P 1 / P 4 (P 2 / P 5).
Το σχήμα 75 δείχνει την προβολή ενός σημείου στα επίπεδα P 4 και P 5. Το επίπεδο P 4 είναι κάθετο στο επίπεδο P 1.
[AA 1 ]=[A 2 A x ]=[A 4 A x1 ],ᴛ.ᴇ.
η απόσταση από τη νέα μετωπική προβολή στον νέο άξονα είναι ίση με την απόσταση από την παλιά μετωπική προβολή του σημείου στον παλιό άξονα.
Εικόνα 75 Εικόνα 76
Κατά την κατασκευή ενός διαγράμματος στο νέο σύστημα, η νέα προβολή του σημείου Α 4 και η παλιά προβολή του σημείου Α 1 (ή Α 5 και Α 2) βρίσκονται στην ίδια κάθετη προς τον νέο άξονα.
Παράδειγμα 1. Προσδιορίστε το μήκος του τμήματος ΑΒ και τη γωνία κλίσης του ως προς το επίπεδο P 1 και P 2.
Η λύση του προβλήματος φαίνεται στο Σχήμα 76.
Το επίπεδο P 4 εισάγεται κάθετα στο P 1 και παράλληλο στο τμήμα AB, αφού το X 1 είναι παράλληλο στο A 1 B 1. Τα A 1 A 4 και B 1 B 4 βρίσκονται στην ίδια γραμμή σύνδεσης κάθετα στον νέο άξονα X 1. Τμήματα A 2 A x = A 4 A x1; B 2 V x = B 4 V x1. Τμήμα [A 4 B 4 ] = [AB] – μήκος του τμήματος.
Οι γωνίες κλίσης φαίνονται στο σχέδιο. α - γωνία κλίσης προς P 1. β- γωνία κλίσης προς P 2.
Για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων, είναι απαραίτητο να εισαχθούν εναλλακτικές αντικαταστάσεις δύο επιπέδων προβολής.
Παράδειγμα 2. Προσδιορίστε το πραγματικό μέγεθος του τριγώνου ABC.
Η σειρά επίλυσης του προβλήματος φαίνεται στο Σχήμα 77.
Εικόνα 77
1) Εισάγεται το επίπεδο P 4 ┴ P 1. P 2 / P 1 P 4 / P 1
Το επίπεδο P 4 είναι κάθετο στο επίπεδο του τριγώνου ABC, όπως ακριβώς είναι κάθετο στην οριζόντια γραμμή που χαράσσεται στο τρίγωνο. Στο επίπεδο P 4, η προβολή του τριγώνου A 4 B 4 C 4 είναι μια ευθεία γραμμή, η γωνία είναι η γωνία κλίσης του επιπέδου ABC προς το οριζόντιο επίπεδο των προβολών P 1.
[A 2 A x ]=[A 4 A x1 ]; [V 2 V x ]=[V 4 V x1 ]; [C 2 C x ] = [C 4 C x1 ].
2) Εισάγεται το επίπεδο P 5 ┴ P 4. P 4 / P 1 P 5 / P 4
Το επίπεδο του τριγώνου ABC έχει γίνει παράλληλο στο επίπεδο P 5 γιατί Το X 2 είναι παράλληλο με το A 4 B 4 C 4.
[A 1 A x1 ]=[A 5 A x2 ]; [V 1 V x1 ]=[V 5 V x2 ] ; [C 1 C x1 ]=[C 5 C x2 ]
Τρίγωνο A 5 B 5 C 5 - τρίγωνο φυσικού μεγέθους a ABC.
Παράδειγμα 3. Να προσδιορίσετε το σημείο τομής της ευθείας ΜΕ με το γενικό επίπεδο που ορίζεται από το τρίγωνο ΑΒΓ.
Η σειρά επίλυσης του προβλήματος φαίνεται στο Σχήμα 78.
Εικόνα 78
Εφόσον η ευθεία γραμμή BC είναι οριζόντια, το βοηθητικό επίπεδο P 4 σχεδιάζεται κάθετα στο P 1 και ο νέος άξονας X 1 θα είναι κάθετος στην οριζόντια προβολή της οριζόντιας γραμμής B 1 C 1. Το επίπεδο ABC θα γίνει προεξέχον σε σχέση με το επίπεδο P 4 και προβάλλεται σε αυτό σε ευθεία γραμμή A 4 B 4 C 4. Για το λόγο αυτό, η προβολή του σημείου Κ 4 του επιθυμητού σημείου τομής της ευθείας ΜΕ με το επίπεδο ΑΒΓ θα είναι στην προβολή Α 4 Β 4 Γ 4 ή στη συνέχειά της. Η αντίστροφη μετάβαση από το σύστημα P 1 / P 4 στο αρχικό σύστημα P 1 / P 2 μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τις προβολές K 1 και K 2 του σημείου τομής της ευθείας γραμμής ME με το επίπεδο ABC. Η σχετική ορατότητα μιας γραμμής και ενός επιπέδου προσδιορίζεται με τη μέθοδο του ανταγωνιστικού σημείου.
Η ουσία της μεθόδου αντικατάστασης των επιπέδων προβολής είναι ότι ένα από τα επίπεδα προβολής του συστήματος P!/P2 (ή και τα δύο διαδοχικά) αντικαθίσταται από ένα νέο επίπεδο κάθετο στο υπόλοιπο επίπεδο. Η θέση των δεδομένων γεωμετρικών στοιχείων στο χώρο όταν... [διαβάστε περισσότερα]
ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗΣ ΣΥΝΘΕΤΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ Κατά την επίλυση πολλών προβλημάτων περιγραφικής γεωμετρίας, μπορεί να είναι σκόπιμο να μετασχηματιστούν οι προβολές ενός ή περισσότερων σχημάτων έτσι ώστε να παίρνουν μια συγκεκριμένη θέση σε σχέση με τα επίπεδα: παράλληλη ή... [Διαβάστε περισσότερα]
[Διαβάστε περισσότερα]
Αυτή η μέθοδος συνίσταται στο γεγονός ότι τα γεωμετρικά σχήματα που ορίζονται στο χώρο δεν αλλάζουν τη θέση τους, αλλά στο σύστημα των επιπέδων προβολής V και H αντικαθίστανται διαδοχικά ένα, δύο ή περισσότερα επίπεδα προβολής. Σε αυτήν την περίπτωση, το επίπεδο προβολής που εισήχθη πρόσφατα θα πρέπει να είναι... [διαβάστε περισσότερα]
ΓΕΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗΣ ΣΥΝΘΕΤΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ Διάλεξη 4 Η επίλυση ενός αριθμού προβλημάτων στην περιγραφική γεωμετρία απλοποιείται πολύ όταν τα γεωμετρικά σχήματα καταλαμβάνουν μια συγκεκριμένη θέση σε σχέση με τα επίπεδα προβολής. Καθήκοντα για τον καθορισμό αμοιβαίων... [διαβάστε περισσότερα]
Η ουσία της μεθόδου είναι η αντικατάσταση ενός επιπέδου προβολής με ένα άλλο. Ταυτόχρονα, το ίδιο το αντικείμενο είναι σαφώς στερεωμένο στο χώρο. Με μια τέτοια αντικατάσταση, η τιμή συντεταγμένων οποιουδήποτε σημείου στο επίπεδο εισόδου θα είναι ίδια με τις συντεταγμένες του ίδιου σημείου στο επίπεδο που αντικαταστάθηκε. ...
Η αλλαγή της σχετικής θέσης του αντικειμένου που μελετάται και των επιπέδων προβολής επιτυγχάνεται με την αντικατάσταση ενός από τα επίπεδα Π 1 ή Π 2 νέα αεροπλάνα Π 4 (Εικ. 148). Το νέο επίπεδο επιλέγεται πάντα κάθετα στο υπόλοιπο επίπεδο προβολής.
Για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων, μπορεί να απαιτείται διπλή αντικατάσταση των επιπέδων προβολής (Εικ. 149). Η διαδοχική μετάβαση από ένα σύστημα επιπέδων προβολής σε άλλο πρέπει να πραγματοποιείται ακολουθώντας τον ακόλουθο κανόνα: η απόσταση από τη νέα προβολή του σημείου στον νέο άξονα πρέπει να είναι ίση με την απόσταση από την αντικατασταθείσα προβολή του σημείου στον αντικατασταθέντα άξονα.
Πρόβλημα 1: Προσδιορίστε το φυσικό μέγεθος του τμήματος ΑΒ ευθεία γραμμή γενικών διατάξεων (Εικ. 148). Από την ιδιότητα της παράλληλης προβολής είναι γνωστό ότι ένα τμήμα προβάλλεται σε ένα επίπεδο σε πλήρες μέγεθος εάν είναι παράλληλο σε αυτό το επίπεδο.
Ας επιλέξουμε ένα νέο επίπεδο προβολής Π 4 , παράλληλα με το τμήμα ΑΒ και κάθετα στο επίπεδο Π 1 . Με την εισαγωγή ενός νέου επιπέδου, μετακινούμαστε από το σύστημα των αεροπλάνων Π 1 Π 2 στο σύστημα Π 1 Π 4 , και στο νέο σύστημα επιπέδων η προβολή του τμήματος ΕΝΑ 4 ΣΕ 4 θα είναι η φυσική αξία του τμήματος ΑΒ .
Πρόβλημα 2: Προσδιορίστε την απόσταση από ένα σημείο ΕΝΑ σε μια ευθεία γραμμή σε γενική θέση που δίνεται από το τμήμα Ήλιος (Εικ._149).
Η έννοια του πολυέδρου.
Τα πολύεδρα είναι κλειστές χωρικές μορφές που οριοθετούνται από επίπεδα πολύγωνα. Οι κορυφές και οι πλευρές των πολύεδρων είναι οι κορυφές και οι ακμές των πολύεδρων. Σχηματίζουν ένα χωρικό πλέγμα. Εάν οι κορυφές και οι ακμές ενός πολυέδρου βρίσκονται στην ίδια πλευρά του επιπέδου οποιασδήποτε από τις όψεις του, τότε το πολύεδρο ονομάζεται κυρτό· όλες οι όψεις του είναι κυρτές.
Από όλη την ποικιλία των πολύεδρων, τα πρίσματα, οι πυραμίδες, τα κανονικά πολύεδρα και οι ποικιλίες τους έχουν μεγαλύτερο πρακτικό ενδιαφέρον.
Ένα πολύεδρο, δύο από τις όψεις του οποίου είναι n-γόνια σε παράλληλα επίπεδα και οι υπόλοιπες n-όψεις είναι παραλληλόγραμμα, ονομάζεται n-γωνικό πρίσμα. Τα πολύεδρα είναι οι βάσεις του πρίσματος και τα παραλληλόγραμμα είναι οι πλευρικές όψεις του πρίσματος.
Ένα πολύεδρο στο οποίο μία από τις όψεις είναι ένα αυθαίρετο πολύγωνο και οι υπόλοιπες όψεις είναι τρίγωνα με κοινή κορυφή, ονομάζεται πυραμίδα. Η όψη του πολυγώνου ονομάζεται βάση του πρίσματος και τα τρίγωνα ονομάζονται πλευρικές όψεις της πυραμίδας. Η κοινή κορυφή των τριγώνων ονομάζεται ειδική κορυφή της πυραμίδας (συνήθως μόνο κορυφή).
Εάν η πυραμίδα αποκόπτεται από ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση, παίρνουμε μια κολοβωμένη πυραμίδα.
Ένα πολύεδρο ονομάζεται μετρικά κανονικό εάν όλες οι όψεις του είναι κανονικά πολύγωνα. Αυτά περιλαμβάνουν κύβο, τετράεδρο, οκτάεδρο, εικοσάεδρο, δωδεκάεδρο.
Με την εικόνα των πολύεδρων στο σχέδιο εννοούμε την εικόνα της πολυεδρικής επιφάνειας που το οριοθετεί, δηλ. εικόνα του συνόλου των πολυέδρων που το αποτελούν. Είναι βολικό να ορίσετε μια απλή πολυεδρική επιφάνεια γραφικά με προεξοχές του πλέγματος της.
Κατασκευή προβολών:
Κατασκευή προβολών πολύεδρων
Η κατασκευή της προβολής ενός πολυέδρου σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο καταλήγει στην κατασκευή προβολών σημείων. Για παράδειγμα, προβάλλοντας την πυραμίδα SABC στο τετράγωνο 2 (Εικ. 256, αριστερά), κατασκευάζουμε προβολές των κορυφών S, A, B και C και, κατά συνέπεια, προβολές της βάσης ABC, όψεις SAB, SBC, SAC, άκρες SA, SB κ.λπ.
Επίσης, όταν προβάλλουμε μια τριεδρική γωνία ") με κορυφή S (Εικ. 256, δεξιά), εκτός από την κορυφή S, παίρνουμε ένα σημείο (K, M, N) στα άκρα της γωνίας και τα προβάλλουμε
στην πλατεία i 2 ; Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε προβολές των άκρων και των όψεων (επίπεδες γωνίες) της τριεδρικής γωνίας και, γενικά, της ίδιας της γωνίας.
Στο Σχ. 257 απεικονίζει το πολυεδρικό σώμα ACBB 1 D... (δηλαδή μέρος του χώρου που οριοθετείται από όλες τις πλευρές από επίπεδες μορφές - πολύγωνα) και την προβολή του στο τετράγωνο. I 1 - σχήμα A"C"F)
