Βρείτε το παράγωγο: αλγόριθμος και παραδείγματα λύσεων. Παράγωγο μιας συνάρτησης

Υπολογισμός του παραγώγουείναι μία από τις σημαντικότερες πράξεις στο διαφορικό λογισμό. Παρακάτω είναι ένας πίνακας εύρεσης παραγώγων απλών συναρτήσεων. Για πιο περίπλοκους κανόνες διαφοροποίησης, δείτε άλλα μαθήματα:

• Παράγωγος πίνακας εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων

Χρησιμοποιήστε αυτούς τους τύπους ως τιμές αναφοράς. Θα βοηθήσουν στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων και προβλημάτων. Στην εικόνα, στον πίνακα παραγώγων απλών συναρτήσεων, υπάρχει ένα "φύλλο εξαπάτησης" των κύριων περιπτώσεων εύρεσης ενός παραγώγου σε μια μορφή κατανοητή για χρήση, καθώς και εξηγήσεις για κάθε περίπτωση.

Παράγωγα απλών συναρτήσεων

1. Το παράγωγο ενός αριθμού είναι ίσο με το μηδέν
s´ = 0
Παράδειγμα:
5´ = 0

Εξήγηση:
Το παράγωγο δείχνει τον ρυθμό με τον οποίο αλλάζει η τιμή της συνάρτησης όταν αλλάζει το όρισμα. Δεδομένου ότι ο αριθμός δεν αλλάζει με κανέναν τρόπο υπό οποιεσδήποτε συνθήκες, ο ρυθμός αλλαγής του είναι πάντα μηδενικός.

2. Μεταβλητό παράγωγοίσο με ένα
x´ = 1

Εξήγηση:
Για κάθε αύξηση του ορίσματος (x) κατά ένα, η τιμή της συνάρτησης (το αποτέλεσμα των υπολογισμών) αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό. Έτσι, ο ρυθμός μεταβολής της τιμής της συνάρτησης y = x είναι ακριβώς ίσος με τον ρυθμό μεταβολής της τιμής του ορίσματος.

3. Το παράγωγο της μεταβλητής και ο συντελεστής είναι ίσοι με αυτόν τον παράγοντα
cx´ = c
Παράδειγμα:
(3x) ´ = 3
(2x) ´ = 2
Εξήγηση:
Σε αυτήν την περίπτωση, κάθε φορά το όρισμα της συνάρτησης ( NS) η τιμή του (y) αυξάνεται σε μεμια φορά. Έτσι, ο ρυθμός μεταβολής της τιμής της συνάρτησης σε σχέση με τον ρυθμό μεταβολής του ορίσματος είναι ακριβώς ίσος με την τιμή με.

Από πού προκύπτει αυτό
(cx + b) "= c
δηλαδή το διαφορικό της γραμμικής συνάρτησης y = kx + b είναι ίσο με την κλίση της ευθείας (k).

4. Modulo παράγωγο μιας μεταβλητήςισούται με το πηλίκο αυτής της μεταβλητής στο μέτρο της
| x | "= x / | x | με την προϋπόθεση ότι x ≠ 0
Εξήγηση:
Δεδομένου ότι το παράγωγο της μεταβλητής (βλέπε τύπο 2) είναι ίσο με ένα, το παράγωγο του συντελεστή διαφέρει μόνο στο ότι η τιμή του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης μεταβάλλεται στο αντίθετο όταν διασχίζει το σημείο προέλευσης (προσπαθήστε να σχεδιάσετε ένα γράφημα της συνάρτησης y = | x | και δείτε μόνοι σας. τιμή και επιστρέφει την έκφραση x / | x |. Όταν x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - ένα. Δηλαδή, με αρνητικές τιμές της μεταβλητής x, με κάθε αύξηση της αλλαγής στο όρισμα, η τιμή της συνάρτησης μειώνεται ακριβώς με την ίδια τιμή και με τις θετικές τιμές, αντίθετα, αυξάνεται, αλλά ακριβώς την ίδια τιμή.

5. Παράγωγο μεταβλητής ισχύοςείναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού αυτού του βαθμού και της μεταβλητής στον βαθμό, μειωμένο κατά ένα
(x c) "= cx c-1, με την προϋπόθεση ότι ορίζονται x c και cx c-1 και c ≠ 0
Παράδειγμα:
(x 2) "= 2x
(x 3) "= 3x 2
Για να απομνημονεύσετε τον τύπο:
Εκτελέστε τη δύναμη της μεταβλητής "κάτω" ως παράγοντας και, στη συνέχεια, μειώστε την ίδια την ισχύ κατά μία. Για παράδειγμα, για το x 2 - τα δύο ήταν μπροστά από το x και στη συνέχεια ο μειωμένος βαθμός (2-1 = 1) μας έδωσε μόλις 2x. Το ίδιο συνέβη και για το x 3 - "κατεβάζουμε" τα τρία, το μειώνουμε κατά ένα και αντί για κύβο έχουμε ένα τετράγωνο, δηλαδή 3x 2. Λίγο "αντιεπιστημονικό" αλλά πολύ εύκολο να το θυμηθώ.

6.Παράγωγο κλάσματος 1 / x
(1 / x) "= - 1 / x 2
Παράδειγμα:
Δεδομένου ότι ένα κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ότι αυξάνεται σε αρνητική ισχύ
(1 / x) "= (x -1)", τότε μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο από τον κανόνα 5 του πίνακα παραγώγων
(x -1) "= -1x -2 = -1 / x 2

7. Παράγωγο κλάσματος μεταβλητή αυθαίρετου βαθμούστον παρονομαστή
(1 / x γ) "= - c / x c + 1
Παράδειγμα:
(1 / x 2) "= - 2 / x 3

8. Παράγωγο της ρίζας(παράγωγο της μεταβλητής κάτω από την τετραγωνική ρίζα)
(√x) "= 1 / (2√x)ή 1/2 x -1/2
Παράδειγμα:
(√x) "= (x 1/2)" σημαίνει ότι μπορείτε να εφαρμόσετε τον τύπο από τον κανόνα 5
(x 1/2) "= 1/2 x -1/2 = 1/(2√x)

9. Παράγωγο μιας μεταβλητής κάτω από μια αυθαίρετη ρίζα
(n √ x) "= 1 / (n n √ x n-1)

Μάθημα με θέμα: "Τι είναι παράγωγο; Ορισμός παράγωγου"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις ευχές σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για την τάξη 10
Αλγεβρικά προβλήματα με παραμέτρους, βαθμοί 9-11
Περιβάλλον λογισμικού "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Τι θα μελετήσουμε:
1. Εισαγωγή στην έννοια ενός παραγώγου.
2. Λίγο ιστορία.

4. Παράγωγο στο γράφημα της συνάρτησης. Η γεωμετρική έννοια του παραγώγου.

6. Διαφοροποίηση της λειτουργίας.
7. Παραδείγματα.

Εισαγωγή στην έννοια ενός παραγώγου

Υπάρχουν πολλά προβλήματα που έχουν εντελώς διαφορετική σημασία, αλλά ταυτόχρονα υπάρχουν μαθηματικά μοντέλα που μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε τις λύσεις στα προβλήματά μας με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Για παράδειγμα, αν λάβουμε υπόψη εργασίες όπως:

Α) Υπάρχει ένας συγκεκριμένος τραπεζικός λογαριασμός που αλλάζει συνεχώς μία φορά κάθε λίγες ημέρες, το ποσό αυξάνεται συνεχώς, πρέπει να βρείτε την ταχύτητα με την οποία αυξάνεται ο λογαριασμός.
β) Το εργοστάσιο παράγει καραμέλες, υπάρχει κάποια σταθερή αύξηση στην παραγωγή καραμελών, βρείτε πόσο γρήγορα αυξάνεται η αύξηση της καραμέλας.
γ) Η ταχύτητα του αυτοκινήτου σε μια ορισμένη χρονική στιγμή t, εάν η θέση του αυτοκινήτου είναι γνωστή και κινείται σε ευθεία γραμμή.
δ) Μας δίνεται ένα γράφημα μιας συνάρτησης και κάποια στιγμή μια εφαπτομένη τραβιέται προς αυτήν, απαιτείται να βρεθεί η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης προς την εφαπτομένη.
Η διατύπωση των προβλημάτων μας είναι εντελώς διαφορετική και φαίνεται ότι λύνονται με εντελώς διαφορετικούς τρόπους, αλλά οι μαθηματικοί έχουν καταλάβει πώς να λύσουν όλα αυτά τα προβλήματα με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Εισήχθη η έννοια ενός παραγώγου.

Λίγο ιστορία

Ο όρος παράγωγο εισήχθη από τον μεγάλο μαθηματικό - Lagrange, η μετάφραση στα ρωσικά προέρχεται από τη γαλλική λέξη derivee, εισήγαγε επίσης τη σύγχρονη σημειολογία για το παράγωγο, την οποία θα εξετάσουμε αργότερα.
Θεωρώντας την έννοια ενός παραγώγου στα έργα τους Leibniz και Newton, βρήκαν εφαρμογή του όρου μας στη γεωμετρία και τη μηχανική, αντίστοιχα.
Λίγο αργότερα, θα μάθουμε ότι η παράγωγος προσδιορίζεται μέσω του ορίου, αλλά υπάρχει ένα μικρό παράδοξο στην ιστορία των μαθηματικών. Οι μαθηματικοί έμαθαν να μετράνε ένα παράγωγο πριν εισάγουν την έννοια του ορίου και στην πραγματικότητα κατάλαβαν τι είναι παράγωγο.

Αφήστε τη συνάρτηση y = f (x) να οριστεί σε κάποιο διάστημα που περιέχει μέσα σε κάποιο σημείο x0. Η αύξηση του ορίσματος Δx - δεν βγαίνει από το διάστημα μας. Ας βρούμε την προσαύξηση Δy και συνθέτουμε τον λόγο Δy / Δx, αν υπάρχει όριο αυτής της αναλογίας όταν το Δx τείνει στο μηδέν, τότε αυτό το όριο ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης y = f (x) στο σημείο x0 και είναι συμβολίζεται με f '(x0).

Ας προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε τι είναι παράγωγο σε μη μαθηματική γλώσσα:
Στη μαθηματική γλώσσα: παράγωγο είναι το όριο του λόγου της αύξησης μιας συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματός της όταν η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν.
Στη συνηθισμένη γλώσσα: η παράγωγος είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης στο σημείο x0.
Ας ρίξουμε μια ματιά στα γραφήματα τριών συναρτήσεων:

Παιδιά, ποια καμπύλη πιστεύετε ότι μεγαλώνει γρηγορότερα;
Η απάντηση φαίνεται να είναι προφανής σε όλους 1 καμπύλη μεγαλώνει γρηγορότερα από τις υπόλοιπες. Κοιτάμε πόσο απότομα ανεβαίνει το γράφημα συνάρτησης. Με άλλα λόγια, πόσο γρήγορα αλλάζει η τεταγμένη όταν αλλάζει το x. Η ίδια συνάρτηση σε διαφορετικά σημεία μπορεί να έχει διαφορετική τιμή του παραγώγου - δηλαδή μπορεί να αλλάξει γρηγορότερα ή πιο αργά.

Παράγωγο στο γράφημα της συνάρτησης. Η γεωμετρική έννοια του παραγώγου

Τώρα ας δούμε πώς να βρείτε την παράγωγο χρησιμοποιώντας γραφήματα συναρτήσεων:


Ας δούμε το γράφημα της συνάρτησης: Σχεδιάστε μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο με την τετμημένη x0. Η εφαπτομένη γραμμή και το γράφημα της συνάρτησης μας αγγίζουν το σημείο Α. Πρέπει να εκτιμήσουμε πόσο απότομα ανεβαίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης. Μια βολική τιμή για αυτό είναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης.

Ορισμός. Το παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο x0 είναι ίσο με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης που τραβιέται στο γράφημα της συνάρτησης σε αυτό το σημείο.

Η γωνία κλίσης της εφαπτομένης επιλέγεται ως η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα τεμάχιο.
Και έτσι το παράγωγο της συνάρτησης μας είναι:

Και έτσι η παράγωγος στο σημείο x0 είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της εφαπτομένης, αυτή είναι η γεωμετρική έννοια της παραγώγου.

Αλγόριθμος εύρεσης της παραγώγου μιας συνάρτησης y = f (x).
α) Διορθώστε την τιμή του x, βρείτε f (x).
β) Να βρείτε την προσαύξηση του ορίσματος x + Δx, και την τιμή της αύξησης της συνάρτησης f (x + Δx).
γ) Να βρείτε την προσαύξηση της συνάρτησης Δy = f (x + Δx) -f (x).
δ) Να συμπληρώσετε την αναλογία: Δy / Δx
ε) Υπολογίστε

Αυτό είναι το παράγωγο της λειτουργίας μας.

Διαφοροποίηση συναρτήσεων

Εάν η συνάρτηση y = f (x) έχει παράγωγο στο σημείο x, τότε ονομάζεται διαφοροποιήσιμη στο σημείο x. Η διαδικασία εύρεσης της παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση της συνάρτησης y = f (x).
Ας επιστρέψουμε στο ζήτημα της συνέχειας της συνάρτησης. Εάν η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη κάποια στιγμή, τότε μια εφαπτομένη μπορεί να τραβηχτεί στο γράφημα της συνάρτησης σε αυτό το σημείο, η συνάρτηση δεν μπορεί να έχει ασυνέχεια σε αυτό το σημείο, τότε είναι απλά αδύνατο να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη.
Και έτσι γράφουμε τα παραπάνω ως ορισμό:
Ορισμός. Εάν μια συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο x, τότε είναι συνεχής σε αυτό το σημείο.
Ωστόσο, εάν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο, αυτό δεν σημαίνει ότι είναι διαφοροποιήσιμη σε εκείνο το σημείο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y = | x | είναι συνεχής στο σημείο x = 0, αλλά η εφαπτομένη γραμμή δεν μπορεί να σχεδιαστεί και επομένως η παράγωγος δεν υπάρχει.

Παράγωγα παραδείγματα

Βρείτε το Παράγωγο της Συνάρτησης: y = 3x
Λύση:
Θα χρησιμοποιήσουμε τον παράγωγο αλγόριθμο αναζήτησης.
1) Για σταθερή τιμή x, τιμή συνάρτησης y = 3x
2) Στο σημείο x + Δx, y = f (x + Δx) = 3 (x + Δx) = 3x + 3 Δx

3) Βρείτε την αύξηση της συνάρτησης: Δy = f (x + Δx) -f (x) = 3x + 3 Δx -3x = 3Δ

Είναι πολύ εύκολο να το θυμάσαι.

Λοιπόν, ας μην πάμε μακριά, θα εξετάσουμε αμέσως την αντίστροφη συνάρτηση. Ποια συνάρτηση είναι η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης; Λογάριθμος:

Στην περίπτωσή μας, η βάση είναι ένας αριθμός:

Ένας τέτοιος λογάριθμος (δηλαδή, ένας λογάριθμος με βάση) ονομάζεται "φυσικός" και γι 'αυτόν χρησιμοποιούμε έναν ειδικό συμβολισμό: γράφουμε αντ' αυτού.

Τι ισούται με; Φυσικά, .

Το παράγωγο του φυσικού λογάριθμου είναι επίσης πολύ απλό:

Παραδείγματα:

1. Βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης.
2. Ποιο είναι το παράγωγο της συνάρτησης;

Απαντήσεις: Ο εκθέτης και ο φυσικός λογάριθμος είναι μοναδικά απλές συναρτήσεις από την άποψη του παραγώγου. Οι εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις με οποιαδήποτε άλλη βάση θα έχουν διαφορετική παράγωγο, την οποία θα αναλύσουμε αργότερα, αφού περάσουμε από τους κανόνες διαφοροποίησης.

Κανόνες διαφοροποίησης

Οι κανόνες τι; Και πάλι νέος όρος, πάλι;! ...

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΤΗΤΑ-διάκρισηείναι η διαδικασία εύρεσης ενός παραγώγου.

Αυτό είναι όλο. Πώς αλλιώς να χαρακτηριστεί αυτή η διαδικασία με μία λέξη; Όχι παράγωγο ... Το διαφορικό των μαθηματικών ονομάζεται η ίδια αύξηση της συνάρτησης στο. Ο όρος αυτός προέρχεται από τη λατινική διαφοροποίηση - διαφορά. Εδώ.

Κατά την εξαγωγή όλων αυτών των κανόνων, θα χρησιμοποιήσουμε δύο συναρτήσεις, για παράδειγμα, και. Χρειαζόμαστε επίσης τύπους για τις αυξήσεις τους:

Υπάρχουν 5 κανόνες συνολικά.

Η σταθερά μετακινείται έξω από το πρόσημο της παραγώγου.

Αν είναι κάποιος σταθερός αριθμός (σταθερός), τότε.

Προφανώς, αυτός ο κανόνας λειτουργεί επίσης για τη διαφορά :.

Ας το αποδείξουμε. Αφήστε, ή πιο εύκολο.

Παραδείγματα.

Βρείτε τα παράγωγα των συναρτήσεων:

1. στο σημείο;
2. στο σημείο;
3. στο σημείο;
4. στο σημείο.

Λύσεις:

1. (το παράγωγο είναι το ίδιο σε όλα τα σημεία, αφού είναι γραμμική συνάρτηση, θυμάστε;)

Παράγωγο του έργου

Όλα είναι τα ίδια εδώ: εισάγουμε μια νέα συνάρτηση και βρίσκουμε την αύξηση της:

Παράγωγο:

Παραδείγματα:

1. Βρείτε τα παράγωγα των συναρτήσεων και
2. Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο.

Λύσεις:

Παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης

Τώρα οι γνώσεις σας είναι αρκετές για να μάθετε πώς να βρείτε το παράγωγο οποιασδήποτε εκθετικής συνάρτησης, όχι μόνο του εκθέτη (έχετε ξεχάσει τι είναι;).

Λοιπόν, πού είναι κάποιος αριθμός.

Γνωρίζουμε ήδη το παράγωγο της συνάρτησης, οπότε ας προσπαθήσουμε να μεταδώσουμε τη συνάρτηση μας σε μια νέα ρίζα:

Για να γίνει αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε έναν απλό κανόνα :. Τότε:

Λοιπόν, λειτούργησε. Τώρα προσπαθήστε να βρείτε το παράγωγο και μην ξεχνάτε ότι αυτή η συνάρτηση είναι δύσκολη.

Έγινε;

Εδώ, ελέγξτε τον εαυτό σας:

Ο τύπος αποδείχθηκε ότι ήταν πολύ παρόμοιος με το παράγωγο του εκθέτη: όπως ήταν, παραμένει, εμφανίστηκε μόνο ένας πολλαπλασιαστής, ο οποίος είναι μόνο ένας αριθμός, αλλά όχι μια μεταβλητή.

Παραδείγματα:
Βρείτε τα παράγωγα των συναρτήσεων:

Απαντήσεις:

Αυτός είναι μόνο ένας αριθμός που δεν μπορεί να υπολογιστεί χωρίς αριθμομηχανή, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί σε απλούστερη μορφή. Επομένως, στην απάντηση το αφήνουμε σε αυτή τη μορφή.

Σημειώστε ότι εδώ είναι το πηλίκο δύο συναρτήσεων, οπότε εφαρμόζουμε τον αντίστοιχο κανόνα διαφοροποίησης:

Σε αυτό το παράδειγμα, το προϊόν δύο συναρτήσεων:

Παράγωγο μιας λογαριθμικής συνάρτησης

Εδώ είναι παρόμοιο: γνωρίζετε ήδη το παράγωγο του φυσικού λογάριθμου:

Επομένως, για να βρείτε ένα αυθαίρετο από ένα λογάριθμο με διαφορετική βάση, για παράδειγμα:

Πρέπει να φέρετε αυτόν τον λογάριθμο στη βάση. Πώς αλλάζετε τη βάση του λογάριθμου; Ελπίζω να θυμάστε αυτόν τον τύπο:

Μόνο που τώρα θα γράψουμε:

Ο παρονομαστής είναι απλώς μια σταθερά (σταθερός αριθμός, χωρίς μεταβλητή). Το παράγωγο είναι πολύ απλό:

Τα παράγωγα των εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων δεν βρίσκονται σχεδόν ποτέ στη ΧΡΗΣΗ, αλλά δεν θα είναι περιττό να τα γνωρίζουμε.

Παράγωγο σύνθετης συνάρτησης.

Τι είναι μια «σύνθετη λειτουργία»; Όχι, αυτό δεν είναι λογάριθμος και δεν είναι τετράγωνο. Αυτές οι συναρτήσεις μπορεί να είναι δύσκολο να κατανοηθούν (αν και αν ο λογάριθμος σας φαίνεται δύσκολος, διαβάστε το θέμα "Λογάριθμοι" και όλα θα περάσουν), αλλά από την άποψη των μαθηματικών, η λέξη "δύσκολο" δεν σημαίνει "δύσκολο".

Φανταστείτε ένα μικρό ιμάντα μεταφοράς: δύο άτομα κάθονται και κάνουν κάποιου είδους δράση με κάποια αντικείμενα. Για παράδειγμα, το πρώτο τυλίγει μια σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και το δεύτερο τη δένει με μια κορδέλα. Αποδεικνύεται ένα τόσο σύνθετο αντικείμενο: μια σοκολάτα τυλιγμένη και δεμένη με κορδέλα. Για να φάτε μια σοκολάτα, πρέπει να κάνετε τα αντίστροφα βήματα με αντίστροφη σειρά.

Ας δημιουργήσουμε έναν παρόμοιο μαθηματικό αγωγό: πρώτα θα βρούμε το συνημίτονο ενός αριθμού και στη συνέχεια θα τετραγωνίσουμε τον αριθμό που προκύπτει. Έτσι, μας δίνεται ένας αριθμός (μπάρα σοκολάτας), βρίσκω το συνημίτονο (περιτύλιγμα), και εσείς στη συνέχεια τετραγωνίζετε αυτό που πήρα (δέστε το με μια κορδέλα). Τι συνέβη? Λειτουργία. Αυτό είναι ένα παράδειγμα σύνθετης συνάρτησης: όταν, για να βρούμε την τιμή της, κάνουμε την πρώτη ενέργεια απευθείας με τη μεταβλητή και, στη συνέχεια, μια άλλη δεύτερη ενέργεια με το αποτέλεσμα της πρώτης.

Με άλλα λόγια, μια σύνθετη συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα είναι μια άλλη συνάρτηση: .

Για το παράδειγμά μας ,.

Μπορούμε κάλλιστα να κάνουμε τις ίδιες ενέργειες με την αντίστροφη σειρά: πρώτα τετραγωνίζεις και μετά αναζητώ το συνημίτονο του αριθμού που προκύπτει :. Είναι εύκολο να μαντέψουμε ότι το αποτέλεσμα θα είναι σχεδόν πάντα διαφορετικό. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των πολύπλοκων συναρτήσεων: όταν αλλάζετε τη σειρά των ενεργειών, η συνάρτηση αλλάζει.

Δεύτερο παράδειγμα: (ίδιο). ...

Η δράση που κάνουμε τελευταία θα ονομάζεται Λειτουργία "εξωτερική", και η ενέργεια που έγινε πρώτα - αντίστοιχα "Εσωτερική" λειτουργία(αυτά είναι ανεπίσημα ονόματα, τα χρησιμοποιώ μόνο για να εξηγήσω το υλικό σε απλή γλώσσα).

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποια λειτουργία είναι εξωτερική και ποια εσωτερική:

Απαντήσεις:Ο διαχωρισμός εσωτερικών και εξωτερικών συναρτήσεων μοιάζει πολύ με την αλλαγή μεταβλητών: για παράδειγμα, σε μια συνάρτηση

1. Ποια είναι η πρώτη ενέργεια που πρέπει να γίνει; Αρχικά, θα υπολογίσουμε το ημίτονο και μόνο τότε θα το ανεβάσουμε σε κύβο. Αυτό σημαίνει ότι είναι μια εσωτερική, αλλά εξωτερική λειτουργία.
   Και η αρχική λειτουργία είναι η σύνθεσή τους :.
2. Εσωτερικός:; εξωτερικός:.
   Εξέταση:.
3. Εσωτερικός:; εξωτερικός:.
   Εξέταση:.
4. Εσωτερικός:; εξωτερικός:.
   Εξέταση:.
5. Εσωτερικός:; εξωτερικός:.
   Εξέταση:.

αλλάζουμε μεταβλητές και παίρνουμε μια συνάρτηση.

Λοιπόν, τώρα θα βγάλουμε τη σοκολάτα μας - αναζητήστε ένα παράγωγο. Η διαδικασία είναι πάντα η αντίθετη: πρώτα αναζητούμε το παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης και μετά πολλαπλασιάζουμε το αποτέλεσμα με το παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης. Σε σχέση με το αρχικό παράδειγμα, μοιάζει με αυτό:

Ενα άλλο παράδειγμα:

Ας διατυπώσουμε επιτέλους έναν επίσημο κανόνα:

Αλγόριθμος εύρεσης της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης:

Όλα φαίνονται απλά, σωστά;

Ας ελέγξουμε με παραδείγματα:

Λύσεις:

1) Εσωτερικό :;

Εξωτερικός:;

2) Εσωτερικό :;

(απλά μην προσπαθήσετε να το κόψετε μέχρι τώρα! Τίποτα δεν μπορεί να αφαιρεθεί από κάτω από το συνημίτονο, θυμάστε;)

3) Εσωτερικό :;

Εξωτερικός:;

Είναι αμέσως σαφές ότι υπάρχει μια σύνθετη λειτουργία τριών επιπέδων: τελικά, αυτή είναι ήδη μια πολύπλοκη λειτουργία από μόνη της και εξάγουμε επίσης τη ρίζα από αυτήν, δηλαδή εκτελούμε την τρίτη ενέργεια (βάζουμε μια σοκολάτα σε ένα περιτύλιγμα και βάλτε το σε χαρτοφύλακα με κορδέλα). Αλλά δεν υπάρχει κανένας λόγος να φοβόμαστε: έτσι κι αλλιώς, θα «ξετυλίξουμε» αυτήν τη λειτουργία με την ίδια σειρά όπως συνήθως: από το τέλος.

Δηλαδή, πρώτα διαφοροποιούμε τη ρίζα, στη συνέχεια το συνημίτονο και μόνο τότε την έκφραση σε αγκύλες. Και μετά τα πολλαπλασιάζουμε όλα αυτά.

Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι βολικό να αριθμήσετε τις ενέργειες. Δηλαδή, ας φανταστούμε αυτά που γνωρίζουμε. Με ποια σειρά θα εκτελέσουμε ενέργειες για τον υπολογισμό της τιμής αυτής της έκφρασης; Ας πάρουμε ένα παράδειγμα:

Όσο αργότερα πραγματοποιηθεί η ενέργεια, τόσο πιο «εξωτερική» θα είναι η αντίστοιχη συνάρτηση. Η ακολουθία ενεργειών - όπως πριν:

Εδώ, η φωλιά είναι γενικά 4 επιπέδων. Ας ορίσουμε μια πορεία δράσης.

1. Μια ριζοσπαστική έκφραση. ...

2. Ρίζα. ...

3. Κόλπος κόλπων. ...

4. Πλατεία. ...

5. Βάζοντας τα πάντα μαζί:

ΠΑΡΑΓΩΓΟ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Παράγωγο μιας συνάρτησης- ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος με μια απείρως μικρή αύξηση του ορίσματος:

Βασικά παράγωγα:

Κανόνες διαφοροποίησης:

Η σταθερά μετακινείται έξω από το παράγωγο πρόσημο:

Παράγωγο του ποσού:

Παράγωγο του έργου:

Παράγωγο του πηλίκου:

Παράγωγο σύνθετης συνάρτησης:

Αλγόριθμος εύρεσης της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης:

1. Ορίζουμε την "εσωτερική" συνάρτηση, βρίσκουμε την παράγωγό της.
2. Ορίζουμε την "εξωτερική" συνάρτηση, βρίσκουμε την παράγωγό της.
3. Πολλαπλασιάζουμε τα αποτελέσματα του πρώτου και του δεύτερου σημείου.

Η λειτουργία εύρεσης ενός παραγώγου ονομάζεται διαφοροποίηση.

Ως αποτέλεσμα της επίλυσης των προβλημάτων εύρεσης παραγώγων των απλούστερων (και όχι πολύ απλών) συναρτήσεων με τον καθορισμό της παραγώγου ως ορίου της αναλογίας της προσαύξησης προς την αύξηση του επιχειρήματος, έναν πίνακα παραγώγων και επακριβώς καθορισμένους κανόνες διαφοροποίησης εμφανίστηκε. Οι πρώτοι στον τομέα της εύρεσης παραγώγων ήταν ο Isaac Newton (1643-1727) και ο Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Επομένως, στην εποχή μας, για να βρούμε το παράγωγο οποιασδήποτε συνάρτησης, δεν είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε το προαναφερθέν όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, αλλά απλά πρέπει να χρησιμοποιήσετε το πίνακα παραγώγων και κανόνες διαφοροποίησης. Ο παρακάτω αλγόριθμος είναι κατάλληλος για την εύρεση του παραγώγου.

Να βρούμε την παράγωγο, χρειάζεστε μια έκφραση κάτω από το σημάδι εγκεφαλικού επεισοδίου αποσυναρμολογήστε απλές λειτουργίεςκαι καθορίζει ποιες ενέργειες (προϊόν, άθροισμα, πηλίκο)αυτές οι λειτουργίες συνδέονται. Επιπλέον, τα παράγωγα βασικών συναρτήσεων βρίσκονται στον πίνακα παραγώγων και οι τύποι για τα παράγωγα του προϊόντος, το άθροισμα και το πηλίκο βρίσκονται στους κανόνες διαφοροποίησης. Ο παράγωγος πίνακας και οι κανόνες διαφοροποίησης δίνονται μετά τα δύο πρώτα παραδείγματα.

Παράδειγμα 1.Βρείτε το παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Από τους κανόνες διαφοροποίησης, διαπιστώνουμε ότι το παράγωγο του αθροίσματος συναρτήσεων είναι το άθροισμα των παραγώγων συναρτήσεων, δηλ.

Από τον πίνακα παραγώγων διαπιστώνουμε ότι το παράγωγο του "χ" είναι ίσο με ένα και το παράγωγο του ημιτόνου είναι ίσο με το συνημίτονο. Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στο άθροισμα των παραγώγων και βρίσκουμε το παράγωγο που απαιτείται από την κατάσταση του προβλήματος:

Παράδειγμα 2.Βρείτε το παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Διαφοροποιούμαστε ως παράγωγο του αθροίσματος, στο οποίο ο δεύτερος όρος με σταθερό συντελεστή, μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του παραγώγου:

Εάν εξακολουθούν να υπάρχουν ερωτήσεις σχετικά με το από πού προέρχεται, κατά κανόνα, γίνονται σαφέστερες μετά από εξοικείωση με τον πίνακα παραγώγων και τους απλούστερους κανόνες διαφοροποίησης. Θα τους πάμε τώρα.

Παράγωγος πίνακας απλών συναρτήσεων

1. Παράγωγο σταθεράς (αριθμός). Οποιοσδήποτε αριθμός (1, 2, 5, 200 ...) που βρίσκεται στην παράσταση συνάρτησης. Πάντα μηδέν. Αυτό είναι πολύ σημαντικό να θυμόμαστε, καθώς απαιτείται πολύ συχνά
2. Παράγωγο της ανεξάρτητης μεταβλητής. Τις περισσότερες φορές "x". Πάντα ίσο με ένα. Αυτό είναι επίσης σημαντικό να θυμόμαστε για πολύ καιρό.
3. Βαθμός παραγώγου. Κατά την επίλυση προβλημάτων, πρέπει να μετατρέψετε τις μη τετραγωνικές ρίζες σε δύναμη.
4. Παράγωγο μιας μεταβλητής στην ισχύ -1
5. Παράγωγο της τετραγωνικής ρίζας
6. Παράγωγο ημιτόνου
7. Παράγωγο του συνημίτονου
8. Παράγωγο της εφαπτομένης
9. Παράγωγο της συμπαράταξης
10. Παράγωγο του arcsine
11. Παράγωγο της αρκοσίνης
12. Παράγωγο της αρχιτεκτονικής
13. Παράγωγο της συγχωνευτικής τόξου
14. Παράγωγο του φυσικού λογάριθμου
15. Παράγωγο της λογαριθμικής συνάρτησης
16. Παράγωγο του εκθέτη
17. Παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης

Κανόνες διαφοροποίησης

1. Παράγωγο του αθροίσματος ή της διαφοράς
2. Παράγωγο του έργου
2α Παράγωγο μιας έκφρασης πολλαπλασιασμένο με σταθερό συντελεστή
3. Παράγωγο του πηλίκου
4. Παράγωγο σύνθετης συνάρτησης

Κανόνας 1Εάν λειτουργεί

διαφοροποιήσιμη κάποια στιγμή, μετά στο ίδιο σημείο οι συναρτήσεις

Εξάλλου

εκείνοι. το παράγωγο του αλγεβρικού συνόλου συναρτήσεων είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων.

Συνέπεια. Εάν δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις διαφέρουν κατά έναν σταθερό όρο, τότε τα παράγωγά τους είναι ίσα, δηλ.

Κανόνας 2Εάν λειτουργεί

διαφοροποιήσιμα κάποια στιγμή, τότε στο ίδιο σημείο το προϊόν τους είναι επίσης διαφοροποιήσιμο

Εξάλλου

εκείνοι. το παράγωγο του γινομένου δύο συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα των γινομένων κάθε μιας από αυτές τις συναρτήσεις με το παράγωγο της άλλης.

Συμπέρασμα 1. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να μετακινηθεί έξω από το πρόσημο του παραγώγου:

Συμπέρασμα 2. Το παράγωγο του προϊόντος πολλών διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα των προϊόντων του παραγώγου καθενός από τους παράγοντες από όλους τους άλλους.

Για παράδειγμα, για τρεις παράγοντες:

Κανόνας 3Εάν λειτουργεί

διαφοροποιήσιμο κάποια στιγμή και , τότε σε αυτό το σημείο είναι διαφοροποιήσιμο και το πηλίκο τουςu / v, και

εκείνοι. το παράγωγο του πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίσο με το κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή και του παραγώγου του αριθμητή και του αριθμητή και του παραγώγου του παρονομαστή, και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του τον προηγούμενο αριθμητή.

Πού να ψάξετε σε άλλες σελίδες

Όταν βρίσκετε το παράγωγο του προϊόντος και το πηλίκο σε πραγματικά προβλήματα, είναι πάντα απαραίτητο να εφαρμόσετε πολλούς κανόνες διαφοροποίησης ταυτόχρονα, οπότε υπάρχουν περισσότερα παραδείγματα για αυτά τα παράγωγα στο άρθρο"Παράγωγο ενός έργου και μιας συγκεκριμένης λειτουργίας".

Σχόλιο.Μην συγχέετε μια σταθερά (δηλαδή έναν αριθμό) ως άθροισμα και ως σταθερό συντελεστή! Στην περίπτωση ενός όρου, το παράγωγό του είναι ίσο με το μηδέν, και στην περίπτωση ενός σταθερού συντελεστή, αφαιρείται από το πρόσημο των παραγώγων. Αυτό είναι ένα τυπικό λάθος που συμβαίνει στο αρχικό στάδιο της μελέτης παραγώγων, αλλά μετά την επίλυση αρκετών παραδειγμάτων ενός ή δύο συστατικών, ο μέσος μαθητής δεν κάνει πλέον αυτό το λάθος.

Και αν, όταν διαφοροποιείτε ένα έργο ή ένα συγκεκριμένο, έχετε έναν όρο u"v, στο οποίο u- ένας αριθμός, για παράδειγμα, 2 ή 5, δηλαδή μια σταθερά, τότε το παράγωγο αυτού του αριθμού θα είναι ίσο με μηδέν και, ως εκ τούτου, ολόκληρος ο όρος θα είναι ίσος με μηδέν (αυτή η περίπτωση αναλύεται στο Παράδειγμα 10).

Ένα άλλο κοινό λάθος είναι η μηχανική λύση ενός παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης ως παράγωγο μιας απλής συνάρτησης. Να γιατί παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησηςαφιερώνεται ξεχωριστό άρθρο. Αλλά πρώτα, θα μάθουμε να βρίσκουμε τα παράγωγα απλών συναρτήσεων.

Στην πορεία, δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς μετασχηματισμούς έκφρασης. Για να γίνει αυτό, ίσως χρειαστεί να ανοίξετε τα σεμινάρια σε νέα παράθυρα Δράσεις με δυνάμεις και ρίζεςκαι Δράσεις κλάσματος .

Αν ψάχνετε λύσεις για παράγωγα κλάσματα με δυνάμεις και ρίζες, δηλαδή όταν η συνάρτηση μοιάζει , στη συνέχεια ακολουθήστε το μάθημα "Παράγωγο του αθροίσματος των κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες".

Εάν έχετε μια εργασία όπως , στη συνέχεια το μάθημά σας "Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων".

Παραδείγματα βήμα προς βήμα - πώς να βρείτε την παράγωγο

Παράδειγμα 3.Βρείτε το παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Καθορίζουμε τα μέρη της έκφρασης συνάρτησης: ολόκληρη η έκφραση αντιπροσωπεύει το προϊόν και οι συντελεστές της είναι άθροισμα, στο δεύτερο εκ των οποίων ένας από τους όρους περιέχει σταθερό συντελεστή. Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης προϊόντος: το παράγωγο του γινομένου δύο συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα των προϊόντων κάθε μιας από αυτές τις συναρτήσεις με το παράγωγο της άλλης:

Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος: το παράγωγο του αλγεβρικού αθροίσματος συναρτήσεων ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Στην περίπτωσή μας, σε κάθε άθροισμα, ο δεύτερος όρος με πρόσημο μείον. Σε κάθε άθροισμα βλέπουμε και μια ανεξάρτητη μεταβλητή, της οποίας η παράγωγη είναι ίση με μία, και μια σταθερά (αριθμός), της οποίας η παράγωγη είναι ίση με το μηδέν. Έτσι, το "x" για εμάς μετατρέπεται σε ένα και μείον 5 - σε μηδέν. Στη δεύτερη έκφραση, το "x" πολλαπλασιάζεται με 2, οπότε πολλαπλασιάζουμε δύο με την ίδια μονάδα με το παράγωγο του "x". Λαμβάνουμε τις ακόλουθες τιμές των παραγώγων:

Αντικαθιστούμε τα ευρεθέντα παράγωγα στο άθροισμα των προϊόντων και λαμβάνουμε το παράγωγο ολόκληρης της συνάρτησης που απαιτείται από την κατάσταση του προβλήματος:

Και μπορείτε να ελέγξετε τη λύση του προβλήματος για το παράγωγο στο.

Παράδειγμα 4.Βρείτε το παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Απαιτείται να βρούμε την παράγωγο του πηλίκου. Εφαρμόζουμε τον τύπο για τη διαφοροποίηση του πηλίκου: το παράγωγο του πηλίκου δύο συναρτήσεων είναι ίσο με το κλάσμα, του οποίου ο αριθμητής είναι η διαφορά μεταξύ των γινομένων του παρονομαστή από το παράγωγο του αριθμητή και του αριθμητή από το παράγωγο του παρονομαστή και ο παρονομαστής είναι το τετράγωνο του προηγούμενου αριθμητή. Παίρνουμε:

Έχουμε ήδη βρει το παράγωγο των παραγόντων στον αριθμητή στο Παράδειγμα 2. Μην ξεχνάτε ότι το γινόμενο που είναι ο δεύτερος παράγοντας του αριθμητή στο τρέχον παράδειγμα λαμβάνεται με σύμβολο μείον:

Εάν αναζητάτε λύσεις σε προβλήματα στα οποία πρέπει να βρείτε το παράγωγο μιας συνάρτησης, όπου υπάρχει ένας συνεχής σωρός ριζών και βαθμών, όπως, για παράδειγμα, τότε καλώς ήρθες στην τάξη "Παράγωγο του αθροίσματος των κλασμάτων με δυνάμεις και ρίζες" .

Εάν πρέπει να μάθετε περισσότερα για τα παράγωγα ημιτόνων, συνημίτονων, εφαπτομένων και άλλων τριγωνομετρικών συναρτήσεων, δηλαδή όταν η συνάρτηση μοιάζει , τότε το μάθημά σας "Παράγωγα απλών τριγωνομετρικών συναρτήσεων" .

Παράδειγμα 5.Βρείτε το παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Σε αυτή τη συνάρτηση, βλέπουμε ένα προϊόν, ένας από τους παράγοντες του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής, το παράγωγο του οποίου εξοικειωθήκαμε στον πίνακα παραγώγων. Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης του προϊόντος και την τιμή πίνακα του παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, λαμβάνουμε:

Μπορείτε να ελέγξετε τη λύση του προβλήματος για το παράγωγο στο υπολογιστής παραγώγων σε απευθείας σύνδεση .

Παράδειγμα 6.Βρείτε το παράγωγο μιας συνάρτησης

Λύση. Σε αυτή τη συνάρτηση, βλέπουμε το πηλίκο, το μέρισμα του οποίου είναι η τετραγωνική ρίζα της ανεξάρτητης μεταβλητής. Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης του πηλίκου, τον οποίο επαναλάβαμε και εφαρμόσαμε στο παράδειγμα 4, και την τιμή του πίνακα του παραγώγου της τετραγωνικής ρίζας, παίρνουμε:

Για να απαλλαγείτε από το κλάσμα στον αριθμητή, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κατά.