Keresse meg a származékot: algoritmus és példák a megoldásokra. Egy függvény származéka

A derivált kiszámítása a differenciálszámítás egyik legfontosabb művelete. Az alábbiakban egy táblázat található az egyszerű függvények származékainak megkeresésére. A differenciálás összetettebb szabályait lásd más leckékben:

• Az exponenciális és logaritmikus függvények származtatott táblázata

Használja ezeket a képleteket referenciaértékként. Segítenek a differenciálegyenletek és problémák megoldásában. A képen, az egyszerű függvények származékai táblázatában egy "csalólap" található a főbb esetekről, amikor a származékot a használathoz érthető formában találják meg, valamint az egyes esetekre vonatkozó magyarázatokat.

Egyszerű függvények származékai

1. Egy szám deriváltja nulla
s´ = 0
Példa:
5´ = 0

Magyarázat:
A derivált azt a sebességet mutatja, amellyel a függvény értéke változik, amikor az argumentum megváltozik. Mivel a szám semmilyen körülmények között nem változik, változásának mértéke mindig nulla.

2. Változó származék egyenlő egy
x´ = 1

Magyarázat:
Az argumentum (x) minden egyes eggyel való növelésekor a függvény értékét (a számítások eredményét) ugyanannyival növeljük. Így az y = x függvény értékének változási sebessége pontosan megegyezik az argumentum értékének változási sebességével.

3. A változó és a tényező deriváltja egyenlő ezzel a tényezővel
cx´ = c
Példa:
(3x) ´ = 3
(2x) ´ = 2
Magyarázat:
Ebben az esetben minden alkalommal, amikor a függvény argumentuma ( NS) értéke (y) ben növekszik val vel egyszer. Így a függvény értékének változási sebessége az argumentum változási sebességéhez képest pontosan megegyezik az értékkel val vel.

Honnan ez következik
(cx + b) "= c
vagyis az y = kx + b lineáris függvény differenciálja egyenlő a (k) egyenes meredekségével.

4. Egy változó Modulo -deriváltja egyenlő ennek a változónak a modulusának hányadosával
| x | "= x / | x | feltéve, hogy x ≠ 0
Magyarázat:
Mivel a változó deriváltja (lásd a 2. képletet) egyenlő eggyel, a modulus deriváltja csak annyiban különbözik, hogy a függvény változási sebességének értéke az ellenkezőjére változik, amikor átlépi a kiindulási pontot (próbáljon meg rajzolni egy az y = | x | függvény grafikonját, és győződjön meg róla saját maga. érték és adja vissza az x / | x | kifejezést< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - egy. Vagyis az x változó negatív értékeivel, az argumentum változásának minden egyes növekedésével a függvény értéke pontosan ugyanazzal az értékkel csökken, pozitív értékekkel pedig éppen ellenkezőleg, nő, de pontosan ugyanazt az értéket.

5. Hatványváltozó származéka egyenlő e fok számának és a fokozat változójának szorzatával, eggyel csökkentve
(x c) "= cx c-1, feltéve, hogy x c és cx c-1 meghatározott, és c ≠ 0
Példa:
(x 2) "= 2x
(x 3) "= 3x 2
A képlet memorizálásához:
Végezze el a változó teljesítményét "lefelé", mint tényezőt, majd csökkentse a teljesítményt eggyel. Például x 2 esetén - a kettő az x előtt volt, majd a csökkentett fok (2-1 = 1) csak 2x adott nekünk. Ugyanez történt az x 3 esetében is - "lefelé" mozgatjuk a hármat, eggyel csökkentjük, és egy kocka helyett négyzetünk van, azaz 3x 2. Kicsit "tudománytalan", de nagyon könnyen megjegyezhető.

6.Töredék származéka 1 / x
(1 / x) "= - 1 / x 2
Példa:
Mivel a töredék negatív hatalomra emelkedésnek tekinthető
(1 / x) "= (x -1)", akkor a származékok táblázatának 5. szabályából származó képletet alkalmazhatja
(x -1) "= -1x -2 = -1 / x 2

7. Töredék származéka tetszőleges mértékű változó a nevezőben
(1 / x c) "= - c / x c + 1
Példa:
(1 / x 2) "= - 2 / x 3

8. A gyök származéka(a négyzetgyök alatti változó deriváltja)
(√x) "= 1 / (2√x) vagy 1/2 x -1/2
Példa:
(√x) "= (x 1/2)" azt jelenti, hogy alkalmazhatja az 5. szabály képletét
(x 1/2) "= 1/2 x -1/2 = 1/(2√x)

9. Egy tetszőleges gyök alatti változó származtatása
(n √x) "= 1 / (n n √x n-1)

Lecke a témáról: "Mi a származékos termék? A származék meghatározása"

További anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtse el megjegyzéseit, véleményeit, kívánságait hagyni! Az összes anyagot egy víruskereső program ellenőrizte.

Taneszközök és szimulátorok az Integral online áruházban a 10. évfolyamhoz
Algebrai problémák a paraméterekkel, 9-11
Szoftverkörnyezet "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Amit tanulmányozni fogunk:
1. Bevezetés a származékos fogalomba.
2. Egy kis történelem.

4. Származék a függvény grafikonján. A derivált geometriai jelentése.

6. A funkció differenciálása.
7. Példák.

Bevezetés a származék fogalmába

Sok probléma van, amelyek jelentése teljesen eltérő, ugyanakkor vannak olyan matematikai modellek, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy pontosan ugyanúgy számítsuk ki a megoldásokat a problémáinkra. Például, ha figyelembe vesszük a következő feladatokat:

A) Van egy bizonyos bankszámla, amely folyamatosan változik néhány naponta, az összeg folyamatosan növekszik, meg kell találnia a számla növekedési sebességét.
b) A gyár cukorkákat gyárt, a cukorkák termelése némileg növekszik, találja meg, milyen gyorsan növekszik az édességek növekedése.
c) Az autó sebessége egy bizonyos t időpontban, ha az autó helyzete ismert, és egyenes vonalban mozog.
d) Kapunk egy függvény grafikonját, és valamikor érintőt húzunk hozzá, meg kell találnunk az érintőhöz tartozó hajlásszög érintőjét.
Problémáink megfogalmazása teljesen más, és úgy tűnik, hogy teljesen különböző módon oldják meg őket, de a matematikusok rájöttek, hogyan lehet ezeket a problémákat pontosan ugyanúgy megoldani. Bevezetésre került a származékos termék fogalma.

Egy kis történelem

A származékos kifejezést a nagy matematikus - Lagrange - vezette be, az orosz nyelvű fordítás a francia derivee szóból származik, ő vezette be a derivált modern jelölését is, amelyet később megvizsgálunk.
Tekintettel a származék fogalmára Leibniz és Newton munkáikban, megtalálják kifejezésünk alkalmazását a geometriában és a mechanikában.
Kicsit később megtudjuk, hogy a deriváltot a határon keresztül határozzák meg, de van egy kis paradoxon a matematika történetében. A matematikusok megtanultak számítani egy deriváltot, mielőtt bevezetik a határ fogalmát, és valójában megértették, mi a derivált.

Legyen definiálva az y = f (x) függvény valamilyen intervallumon belül, amely valamilyen x0 pontot tartalmaz. A Δx argumentum növekménye nem megy ki az intervallumunkból. Keressük meg az Δy növekményt, és állítsuk össze az Δy / Δx arányt, ha ennek az aránynak van határa, amikor Δx nullára hajlik, akkor ezt a korlátot az x = pont y = f (x) függvény deriváltjának nevezzük, és f '(x0) jelöli.

Próbáljuk megmagyarázni, hogy mi a származék nem matematikai nyelven:
Matematikai nyelven: a derivált a függvény növekedésének és az argumentum növekedésének aránya, ha az argumentum növekedése nulla.
Köznapi nyelven: a derivált a függvény változási sebessége az x0 pontban.
Nézzük meg három függvény grafikonját:

Srácok, szerintetek melyik görbe nő gyorsabban?
A válasz mindenki számára nyilvánvalónak tűnik. 1 görbe gyorsabban nő, mint a többi. Azt nézzük, hogy a függvénydiagram milyen meredeken emelkedik. Más szóval, milyen gyorsan változik a ordinátum x változásakor. Ugyanaz a függvény különböző pontokon eltérő értékű lehet a deriváltnál - vagyis gyorsabban vagy lassabban változhat.

Származék a függvény grafikonján. A derivált geometriai jelentése

Most nézzük meg, hogyan lehet megtalálni a derivált függvénygrafikonok segítségével:


Nézzük a függvény grafikonját: Rajzoljunk érintőt a függvény grafikonjához az x0 abszcisszával rendelkező pontban. Az érintő egyenes és függvényünk grafikonja az A pontban érintkezik. Be kell becsülnünk, hogy a függvény grafikonja milyen meredeken emelkedik. Ennek kényelmes értéke az érintő hajlásszögének érintője.

Meghatározás. A függvény deriváltja az x0 pontban megegyezik a függvény grafikonjára rajzolt érintő dőlésszöge érintőjével ezen a ponton.

Az érintő hajlásszöge az érintő és az abszcisszatengely pozitív iránya közötti szög.
Tehát a függvényünk származéka:

És így a derivált az x0 pontban egyenlő az érintő hajlásszögének érintőjével, ez a derivált geometriai jelentése.

Algoritmus az y = f (x) függvény deriváltjának megkeresésére.
a) Javítsd ki x értékét, keresd meg az f (x) -et.
b) Keresse meg az x + Δx argumentum növekményét és az f (x + Δx) függvény növekményének értékét.
c) Keresse meg az Δy = f (x + Δx) -f (x) függvény növekményét.
d) Töltsük fel az arányt: Δy / Δx
e) Számítsa ki

Ez a függvényünk származéka.

Funkció differenciálás

Ha az y = f (x) függvénynek van egy deriváltja az x pontban, akkor az x pontban differenciálhatónak nevezzük. A derivált megtalálásának folyamatát az y = f (x) függvény differenciálásának nevezzük.
Térjünk vissza a függvény folyamatosságának kérdésére. Ha a függvény egy ponton differenciálható, akkor ezen a ponton érintőt lehet rajzolni a függvény grafikonjára, a függvénynek ezen a ponton nem lehet megszakítása, akkor egyszerűen lehetetlen érintőt rajzolni.
Ezért a fentieket definícióként írjuk le:
Meghatározás. Ha egy függvény differenciálható az x pontban, akkor ezen a ponton folyamatos.
Ha azonban egy függvény egy ponton folyamatos, ez nem jelenti azt, hogy ezen a ponton differenciálható. Például az y = | x | függvény folytonos az x = 0 pontban, de az érintővonalat nem lehet meghúzni, és ezért a derivált nem létezik.

Származó példák

Keresse meg a függvény deriváltját: y = 3x
Megoldás:
A származtatott keresési algoritmust fogjuk használni.
1) Az x fix értéknél az y = 3x függvényérték
2) Az x + Δx pontban y = f (x + Δx) = 3 (x + Δx) = 3x + 3 Δx

3) Keresse meg a függvény növekményét: Δy = f (x + Δx) -f (x) = 3x + 3 Δx -3x = 3Δ

Nagyon könnyű megjegyezni.

Nos, ne menjünk messzire, azonnal megfontoljuk az inverz függvényt. Melyik függvény fordítottja az exponenciális függvénynek? Logaritmus:

Esetünkben az alap egy szám:

Az ilyen logaritmust (vagyis egy bázissal ellátott logaritmust) "természetesnek" nevezzük, és ehhez speciális jelölést használunk: írás helyett.

Mivel egyenlő? Természetesen, .

A természetes logaritmus származéka is nagyon egyszerű:

Példák:

1. Keresse meg a függvény deriváltját.
2. Mi a függvény deriváltja?

Válaszok: A kitevő és a természetes logaritmus a derivált szempontjából egyedülállóan egyszerű függvények. Az exponenciális és logaritmikus függvények bármely más bázissal eltérő deriváltot kapnak, amelyet később, a differenciálási szabályok átlépése után elemezni fogunk.

Differenciálási szabályok

A szabályok mi? Ismét egy új kifejezés?! ...

Különbségtétel a származékkeresés folyamata.

Ez minden. Hogyan is nevezhetném ezt a folyamatot egy szóval? Nem levezetés ... A matematika differenciálját a függvény azonos növekményének nevezzük. Ez a kifejezés a latin differenciából származik - különbség. Itt.

Mindezen szabályok levezetésekor két függvényt fogunk használni, például és. Szükségünk van képletekre is a növekedésükhöz:

Összesen 5 szabály van.

Az állandó a derivált előjelen kívül kerül.

Ha valamilyen állandó szám (állandó), akkor.

Nyilvánvalóan ez a szabály is működik a különbségért :.

Bizonyítsuk be. Hagyja, vagy könnyebb.

Példák.

Keresse meg a függvények származékait:

1. azon a ponton;
2. azon a ponton;
3. azon a ponton;
4. azon a ponton.

Megoldások:

1. (a derivált minden ponton ugyanaz, mivel lineáris függvény, emlékszel?);

A mű származéka

Itt minden ugyanaz: új funkciót vezetünk be, és megtaláljuk annak növekedését:

Derivált:

Példák:

1. Keresse meg a függvények származékait és;
2. Keresse meg a függvény deriváltját a pontban.

Megoldások:

Az exponenciális függvény származéka

Most a tudása elegendő ahhoz, hogy megtanulja megtalálni bármely exponenciális függvény származékát, nem csak a kitevőt (elfelejtette, mi az?).

Szóval, hol van néhány szám.

Már ismerjük a függvény deriváltját, ezért próbáljuk meg új függvényt átadni a függvényünknek:

Ehhez egy egyszerű szabályt fogunk használni :. Azután:

Nos, sikerült. Most próbálja megtalálni a deriváltot, és ne felejtse el, hogy ez a funkció trükkös.

Megtörtént?

Itt ellenőrizze magát:

A képlet nagyon hasonlónak bizonyult a kitevő deriváltjához: ahogy volt, úgy is marad, csak egy szorzó jelent meg, ami csak szám, de nem változó.

Példák:
Keresse meg a függvények származékait:

Válaszok:

Ez csak egy szám, amelyet számológép nélkül nem lehet kiszámítani, vagyis nem írható egyszerűbb formában. Ezért a válaszban ebben a formában hagyjuk.

Vegye figyelembe, hogy itt két függvény hányadosa van, ezért a megfelelő differenciálási szabályt alkalmazzuk:

Ebben a példában két függvény szorzata:

Logaritmikus függvény származéka

Itt is hasonló: már ismeri a természetes logaritmus származékát:

Ezért a logaritmus tetszőleges, más bázissal történő megkereséséhez például:

Ezt a logaritmust el kell vinni a bázisra. Hogyan lehet megváltoztatni a logaritmus alapját? Remélem emlékszel erre a képletre:

Csak most írunk helyette:

A nevező csak konstans (állandó szám, nincs változó). A származéka nagyon egyszerű:

Az exponenciális és logaritmikus függvények származékai szinte soha nem találhatók meg a USE -ben, de nem lesz felesleges megismerni őket.

Összetett függvény származéka.

Mi az "összetett függvény"? Nem, ez nem logaritmus és nem arktangens. Ezeket a funkciókat nehéz lehet megérteni (bár ha a logaritmus nehéznek tűnik számodra, olvasd el a "Logaritmusok" témát, és minden elmúlik), de a matematika szempontjából a "nehéz" szó nem azt jelenti, hogy "nehéz" .

Képzeljünk el egy kis szállítószalagot: két ember ül, és valamilyen műveletet végez bizonyos tárgyakkal. Például az első csomagol egy csokoládét, és a második szalaggal köti össze. Kiderül egy ilyen összetett tárgy: egy csokoládé, amelyet szalaggal becsomagolnak és megkötöznek. Ahhoz, hogy egy csokoládét egyél, fordított sorrendben kell végrehajtanod a lépéseket.

Hozzon létre egy hasonló matematikai folyamatot: először egy szám koszinuszát találjuk meg, majd a kapott számot négyzetbe helyezzük. Szóval, kapunk egy számot (csokoládé), megtalálom a koszinuszát (csomagolást), majd négyzetesen összefoglalom azt, ami nekem van (szalaggal kötöd össze). Mi történt? Funkció. Ez egy példa egy összetett függvényre: amikor az értékét megtaláljuk, az első műveletet közvetlenül a változóval hajtjuk végre, majd egy második műveletet az első eredményével.

Más szavakkal, a komplex függvény olyan függvény, amelynek argumentuma egy másik függvény: .

Példánkhoz ,.

Lehet, hogy ugyanazokat a műveleteket végezzük fordított sorrendben: először négyzet, majd keresem a kapott szám koszinuszát. Könnyű kitalálni, hogy az eredmény szinte mindig más lesz. Az összetett funkciók fontos jellemzője: amikor megváltoztatja a műveletek sorrendjét, a funkció megváltozik.

Második példa: (ugyanaz). ...

Az utolsó műveletet fogjuk hívni "Külső" funkció, és az első lépés - ill "Belső" funkció(ezek informális nevek, ezeket csak az anyag egyszerű nyelven történő magyarázatára használom).

Próbálja meg eldönteni, hogy melyik funkció külső és melyik belső:

Válaszok: A belső és a külső függvények elválasztása nagyon hasonlít a változók változásához: például egy függvényben

1. Mi az első teendő? Először kiszámítjuk a szinuszt, és csak ezután emeljük kockára. Ez azt jelenti, hogy ez egy belső funkció, de egy külső.
   És az eredeti funkció az összetételük :.
2. Belső:; külső:.
   Vizsga :.
3. Belső:; külső:.
   Vizsga :.
4. Belső:; külső:.
   Vizsga :.
5. Belső:; külső:.
   Vizsga :.

megváltoztatjuk a változókat és kapunk egy függvényt.

Nos, most kivonjuk a csokoládé rudat - keressünk származékot. Az eljárás mindig az ellenkezője: először a külső függvény deriváltját keressük, majd az eredményt megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. Az eredeti példához képest így néz ki:

Egy másik példa:

Tehát végül fogalmazzunk meg egy hivatalos szabályt:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megkereséséhez:

Minden egyszerűnek tűnik, nem?

Vizsgáljuk meg példákkal:

Megoldások:

1) Belső :;

Külső:;

2) Belső :;

(csak most ne próbálja meg levágni! Semmit sem lehet kivenni a koszinusz alól, emlékszel?)

3) Belső :;

Külső:;

Azonnal nyilvánvaló, hogy itt egy háromszintű komplex függvény létezik: elvégre ez már önmagában összetett függvény, és a gyökeret is kivonjuk belőle, vagyis végrehajtjuk a harmadik műveletet (csokit is teszünk csomagolásba, és tegye egy szalaggal ellátott aktatáskába). De nincs ok a félelemre: mindazonáltal ezt a funkciót a szokásos sorrendben „kicsomagoljuk”: a végétől.

Vagyis először megkülönböztetjük a gyököt, majd a koszinuszt, és csak ezután a zárójelben lévő kifejezést. És akkor mindezt megszorozzuk.

Ilyen esetekben kényelmes számozni a műveleteket. Vagyis képzeljük el, mit tudunk. Milyen sorrendben hajtunk végre műveleteket ennek a kifejezésnek a számításához? Vegyünk egy példát:

Minél később végezzük el a műveletet, annál „külsőbb” lesz a megfelelő funkció. A műveletsor - mint korábban:

Itt a fészkelés általában 4 szintes. Határozzuk meg a cselekvési irányt.

1. Radikális kifejezés. ...

2. Gyökér. ...

3. Sinus. ...

4. Négyzet. ...

5. Mindent összerakva:

DERIVÁLT. RÖVIDEN A FŐBŐL

Egy függvény származéka- a függvény növekedésének és az argumentum növekményének aránya az argumentum végtelen kis növekményével:

Alapszármazékok:

Differenciálási szabályok:

Az állandó a derivált előjelen kívül kerül:

Az összeg származéka:

A mű származéka:

A hányados származéka:

Összetett függvény származéka:

Algoritmus egy komplex függvény deriváltjának megkereséséhez:

1. Meghatározzuk a "belső" függvényt, megtaláljuk a származékát.
2. Meghatározzuk a "külső" függvényt, megtaláljuk a származékát.
3. Megszorozzuk az első és a második pont eredményeit.

A derivált megtalálásának műveletét differenciálásnak nevezzük.

A legegyszerűbb (és nem túl egyszerű) függvények származékkeresésének problémáinak megoldása eredményeképpen úgy határoztuk meg a derivatívát, mint a növekmény és az argumentum növekedése arányának határát, a derivált táblázatot és a pontosan meghatározott differenciálási szabályokat megjelent. Az elsők a származékok megtalálása terén Isaac Newton (1643-1727) és Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) voltak.

Ezért korunkban ahhoz, hogy bármely függvény deriváltját megtaláljuk, nem kell kiszámítani a függvény növekedése és az argumentum növekedése közötti arány fent említett határértékét, hanem csak a derivált táblázat és a differenciálás szabályai. Az alábbi algoritmus alkalmas a derivált megtalálására.

A származék megtalálása, kifejezésre van szüksége a stroke jel alá szétszerelni az egyszerű funkciókatés határozza meg, hogy milyen műveleteket hajt végre (termék, összeg, hányados) ezek a funkciók össze vannak kötve. Továbbá az elemi függvények deriváltjai megtalálhatók a származékok táblázatában, a termék származékainak képletei, az összeg és a hányados pedig a differenciálási szabályokban. A származtató táblázatot és a differenciálási szabályokat az első két példa után adjuk meg.

1. példa. Keresse meg a függvény deriváltját

Megoldás. A differenciálás szabályaiból megtudjuk, hogy a függvényösszeg deriváltja a függvények deriváltjainak összege, azaz

A deriválták táblázatából megtudjuk, hogy az "x" deriváltja egyenlő eggyel, a szinusz deriváltja pedig a koszinuszé. Ezeket az értékeket helyettesítjük a derivált összegbe, és megtaláljuk a probléma feltétele által megkövetelt deriváltot:

2. példa. Keresse meg a függvény deriváltját

Megoldás. Az összeg deriváltjaként különböztetjük meg, amelyben a második tag állandó tényezővel kivehető a derivált előjeléből:

Ha továbbra is kérdések merülnek fel azzal kapcsolatban, hogy honnan származik, azok általában a derivált táblázat és a legegyszerűbb differenciálási szabályok megismerése után világosabbá válnak. Most megyünk hozzájuk.

Egyszerű függvények származtatott táblázata

1. Állandó (szám) származéka. Bármely szám (1, 2, 5, 200 ...), amely a függvény kifejezésben található. Mindig nulla. Ezt nagyon fontos megjegyezni, mivel nagyon gyakran szükséges
2. A független változó származéka. Leggyakrabban "x". Mindig egy. Ezt is fontos emlékezni sokáig.
3. Származékos fok. A problémák megoldásakor nem négyzetgyökereket kell hatalommá alakítani.
4. Egy változó származtatása -1 -es hatványra
5. A négyzetgyök származéka
6. Szinusz származéka
7. A koszinusz származéka
8. Az érintő deriváltja
9. A kotangens származéka
10. Az arcsine származéka
11. Az arccozin származéka
12. Az arctangens származéka
13. Az ív kotangens származéka
14. A természetes logaritmus származéka
15. A logaritmikus függvény származéka
16. A kitevő származéka
17. Az exponenciális függvény származéka

Differenciálási szabályok

1. Az összeg vagy különbség származéka
2. A mű származéka
2a. Egy kifejezés származéka, szorozva állandó tényezővel
3. A hányados származéka
4. Komplex függvény származéka

1. szabályHa függvények

differenciálható valamikor, majd ugyanott a funkciók

ráadásul

azok. a függvények algebrai összegének deriváltja megegyezik e függvények deriváltjainak algebrai összegével.

Következmény. Ha két differenciálható függvény konstans taggal különbözik, akkor származékaik egyenlők, azaz

2. szabályHa függvények

bizonyos ponton differenciálható, akkor ugyanazon a ponton a termékük is differenciálható

ráadásul

azok. két függvény szorzatának deriváltja egyenlő e függvények szorzatainak összegével a másik deriváltjával.

Következtetés 1. Az állandó tényező a derivált előjelén kívül helyezhető el:

Következtetés 2. A több differenciálható függvény szorzatának deriváltja megegyezik az egyes tényezők deriváltjának szorzatainak összes többi összegével.

Például három tényező miatt:

3. szabályHa függvények

megkülönböztethető valamikor és , akkor ezen a ponton differenciálható és hányadosuku / v, és

azok. két függvény hányadosának deriváltja megegyezik a törttel, amelynek számlálója a nevező szorzói és a számláló deriváltja és a számláló és a nevező deriváltja közötti különbség, és a nevező a az előző számlálót.

Hol kell keresni más oldalakon

Amikor a termék származékát és a hányadost valós problémákban találjuk meg, mindig több differenciálási szabályt kell egyszerre alkalmazni, így a cikkben több példa is található ezekre a származékokra"Egy mű és egy bizonyos funkció származéka".

Megjegyzés. Ne tévesszen össze egy konstansot (vagyis egy számot) összegzésként és állandó tényezőként! Egy kifejezés esetén deriváltja egyenlő a nullával, és állandó tényező esetén a derivált előjeleből kerül ki. Ez egy tipikus hiba, amely a derivátumok tanulmányozásának kezdeti szakaszában fordul elő, de több egy- vagy kétkomponensű példa megoldása után az átlag tanuló már nem követi el ezt a hibát.

És ha egy mű vagy egy adott tárgy megkülönböztetésénél van egy kifejezés u"v, amiben u- egy szám, például 2 vagy 5, azaz állandó, akkor e szám deriváltja nulla lesz, és ezért a teljes tag nulla (ezt az esetet a 10. példában elemezzük).

Egy másik gyakori hiba az összetett függvény deriváltjának mechanikai megoldása, mint egy egyszerű függvény származéka. Ezért komplex függvény származéka külön cikket szentelünk. De először megtanuljuk megtalálni az egyszerű függvények származékait.

Útközben nem nélkülözheti a kifejezésmódosításokat. Ehhez előfordulhat, hogy az oktatóanyagokat új ablakokban kell megnyitnia Cselekvések erővel és gyökerekkelés Frakciós műveletek .

Ha megoldásokat keres a hatványokkal és gyökerekkel rendelkező törtek deriváltjaira, vagyis amikor a függvény úgy néz ki , majd kövesse a leckét "A hatalommal és gyökerekkel rendelkező törtek összegének származtatása" című leckét.

Ha olyan feladatod van , majd a leckéjét "Az egyszerű trigonometrikus függvények származékai".

Példák lépésről lépésre - hogyan lehet megtalálni a származékot

3. példa. Keresse meg a függvény deriváltját

Megoldás. Meghatározzuk a függvénykifejezés részeit: a teljes kifejezés a terméket képviseli, és tényezői összegek, amelyek közül a másodikban az egyik kifejezés állandó tényezőt tartalmaz. A termékdifferenciálási szabályt alkalmazzuk: két függvény szorzatának deriváltja megegyezik e függvények szorzatának összegével a másik deriváltjával:

Ezután az összeg differenciálására vonatkozó szabályt alkalmazzuk: a függvények algebrai összegének deriváltja egyenlő e függvények deriváltjainak algebrai összegével. Esetünkben minden összegben a második tag mínuszjellel. Mindegyik összegben látunk egy független változót, amelynek származéka egyenlő eggyel, és egy konstansot (számot), amelynek deriváltja nulla. Tehát az "x" számunkra eggyé válik, és mínusz 5 - nullává. A második kifejezésben az "x" -t megszorozzuk 2 -vel, tehát kettőt megszorozunk ugyanazzal az egységgel, mint az "x" származéka. A következő derivált értékeket kapjuk:

A talált származékokat a termékek összegébe helyettesítjük, és megkapjuk a probléma függvényében előírt teljes függvény deriváltját:

És ellenőrizheti a probléma megoldását a derivált esetében.

4. példa. Keresse meg a függvény deriváltját

Megoldás. Meg kell találnunk a hányados deriváltját. A hányados megkülönböztetésének képletét alkalmazzuk: két függvény hányadosának deriváltja egyenlő a törtsel, amelynek számlálója a nevező szorzói közötti különbség a számláló deriváltja és a számláló a deriváltja nevező, a nevező pedig az előző számláló négyzete. Kapunk:

A 2. példa számlálójában már megtaláltuk a tényezők deriváltját. Ne felejtsük el, hogy az a termék, amely a jelenlegi példában a számláló második tényezője, mínuszjellel van ellátva:

Ha olyan problémák megoldását keresi, amelyekben meg kell találnia egy függvény deriváltját, ahol folyamatosan gyökerek és fokozatok halmozódnak fel, mint pl. akkor üdv az órán "Hatványokkal és gyökerekkel rendelkező törtek összegének származéka" .

Ha többet szeretne megtudni a szinuszok, koszinuszok, érintők és más trigonometrikus függvények származékairól, azaz amikor a függvény úgy néz ki, mint , akkor a leckéd "Egyszerű trigonometrikus függvények származékai" .

5. példa. Keresse meg a függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben egy olyan terméket látunk, amelynek egyik tényezője a független változó négyzetgyöke, amelynek deriváltját a származékok táblázatában ismertük meg. A szorzat differenciálásának szabálya és a négyzetgyök deriváltjának táblázat szerinti értéke szerint a következőket kapjuk:

Ellenőrizheti a probléma megoldását a derivált esetében származékos számológép online .

6. példa. Keresse meg a függvény deriváltját

Megoldás. Ebben a függvényben látjuk a hányadost, amelynek osztalékát a független változó négyzetgyöke adja. A hányados differenciálási szabálya szerint, amelyet megismételtünk és a 4. példában alkalmaztunk, valamint a négyzetgyök deriváltjának táblázatértéke szerint a következőket kapjuk:

A számláló történek megszabadításához szorozza meg a számlálót és a nevezőt.